Analysis Beispiele

$14 \cos (x) + 7 \sin (2 x)$

Schritt 1

Schreibe $14 \cos (x) + 7 \sin (2 x)$ als Funktion.

$f (x) = 14 \cos (x) + 7 \sin (2 x)$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $14 \cos (x) + 7 \sin (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [14 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [14 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [14 \cos (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 \cos (x)$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$14 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 x)]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$14 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 x)]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $14$ .

$- 14 \sin (x) + \frac{d}{d x} [7 \sin (2 x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [7 \sin (2 x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 \sin (2 x)$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 14 \sin (x) + 7 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 2.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Schritt 2.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$- 14 \sin (x) + 7 (2 \cdot \cos (2 x))$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 14 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [14 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 14 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (14 \cos (2 x))$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 14 \sin (x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 14 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 14 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 14 \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (14 \cos (2 x))$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + \frac{d}{d x} (14 \cos (2 x))$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [14 \cos (2 x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 \cos (2 x)$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Schritt 3.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) + 14 (- 2 \sin (2 x))$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $14$ .

$f'' (x) = - 14 \cos (x) - 28 \sin (2 x)$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x) = 0$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $1 - 2 \sin^{2} (x)$ zu transformieren.

$- 14 \sin (x) + 14 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 14 \sin (x) + 14 \cdot 1 + 14 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $14$ mit $1$ .

$- 14 \sin (x) + 14 + 14 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $14$ .

$- 14 \sin (x) + 14 - 28 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 6

Faktorisiere $- 14 \sin (x) + 14 - 28 \sin^{2} (x)$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $14$ aus $- 14 \sin (x) + 14 - 28 \sin^{2} (x)$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $14$ aus $- 14 \sin (x)$ heraus.

$14 (- \sin (x)) + 14 - 28 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $14$ aus $14$ heraus.

$14 (- \sin (x)) + 14 (1) - 28 \sin^{2} (x) = 0$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $14$ aus $- 28 \sin^{2} (x)$ heraus.

$14 (- \sin (x)) + 14 (1) + 14 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 6.1.4

Faktorisiere $14$ aus $14 (- \sin (x)) + 14 (1)$ heraus.

$14 (- \sin (x) + 1) + 14 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 6.1.5

Faktorisiere $14$ aus $14 (- \sin (x) + 1) + 14 (- 2 \sin^{2} (x))$ heraus.

$14 (- \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.2.1.1

Stelle die Terme um.

$14 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 6.2.1.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 6.2.1.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (x)$ heraus.

$14 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 6.2.1.2.2

Schreibe $- 1$ um als $1$ plus $- 2$

$14 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 6.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$14 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 6.2.1.2.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$14 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 6.2.1.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.2.1.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$14 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Schritt 6.2.1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$14 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

Schritt 6.2.1.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 2 \sin (x) + 1$ .

$14 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

Schritt 6.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$14 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

Schritt 7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Schritt 8

Setze $- 2 \sin (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $- 2 \sin (x) + 1$ gleich $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Schritt 8.2

Löse $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Schritt 8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (x) = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (x) = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 8.2.2.2.1.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 8.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 8.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Schritt 8.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Schritt 8.2.5

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{6}$

Schritt 8.2.6

Vereinfache $π - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 8.2.6.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 8.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.2.6.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Schritt 8.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Schritt 8.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.6.3.1

Bringe $6$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Schritt 8.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Schritt 8.2.7

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Schritt 9

Setze $\sin (x) + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Setze $\sin (x) + 1$ gleich $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Schritt 9.2

Löse $\sin (x) + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sin (x) = - 1$

Schritt 9.2.2

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 9.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.2.3.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 9.2.4

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 9.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 9.2.5.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 9.2.5.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 9.2.6

Die Lösung der Gleichung $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Schritt 10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $14 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{6}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 14 \cos (\frac{π}{6}) - 28 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 14 \frac{\sqrt{3}}{2} - 28 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Schritt 12.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 14$ heraus.

$2 (- 7) \frac{\sqrt{3}}{2} - 28 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Schritt 12.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 7 \frac{\sqrt{3}}{2} - 28 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Schritt 12.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 7 \sqrt{3} - 28 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Schritt 12.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- 7 \sqrt{3} - 28 \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Schritt 12.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 7 \sqrt{3} - 28 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Schritt 12.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- 7 \sqrt{3} - 28 \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 12.1.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 7 \sqrt{3} - 28 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 12.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 28$ heraus.

$- 7 \sqrt{3} + 2 (- 14) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 12.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 7 \sqrt{3} + 2 \cdot - 14 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 12.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$- 7 \sqrt{3} - 14 \sqrt{3}$

Schritt 12.2

Subtrahiere $14 \sqrt{3}$ von $- 7 \sqrt{3}$ .

$- 21 \sqrt{3}$

Schritt 13

$x = \frac{π}{6}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{6}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 14

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{6}$ .

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Schritt 14.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 14 \cos (\frac{π}{6}) + 7 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Schritt 14.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.2.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 14 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 7 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Schritt 14.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (7) (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 7 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Schritt 14.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cdot (7 (\frac{\sqrt{3}}{2})) + 7 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Schritt 14.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} + 7 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Schritt 14.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 14.2.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} + 7 \sin (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

Schritt 14.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} + 7 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

Schritt 14.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} + 7 \sin (\frac{π}{3})$

Schritt 14.2.1.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} + 7 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 14.2.1.5

Kombiniere $7$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} + \frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 14.2.2

Um $7 \sqrt{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 7 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 14.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 14.2.3.1

Kombiniere $7 \sqrt{3}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{7 \sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 14.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{7 \sqrt{3} \cdot 2 + 7 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 14.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{14 \sqrt{3} + 7 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 14.2.4.2

Addiere $14 \sqrt{3}$ und $7 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{21 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 14.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{21 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{21 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 15

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{5 π}{6}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 14 \cos (\frac{5 π}{6}) - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 16

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 16.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- 14 (- \cos (\frac{π}{6})) - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 16.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 14 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 16.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ in den Zähler.

$- 14 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 16.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 14$ heraus.

$2 (- 7) \frac{- \sqrt{3}}{2} - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 16.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 7 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 16.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$- 7 (- \sqrt{3}) - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 16.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$7 \sqrt{3} - 28 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 16.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$7 \sqrt{3} - 28 \sin (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

Schritt 16.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \sqrt{3} - 28 \sin (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

Schritt 16.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$7 \sqrt{3} - 28 \sin (\frac{5 π}{3})$

Schritt 16.1.6

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$7 \sqrt{3} - 28 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Schritt 16.1.7

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$7 \sqrt{3} - 28 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 16.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 16.1.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ in den Zähler.

$7 \sqrt{3} - 28 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 16.1.8.2

Faktorisiere $2$ aus $- 28$ heraus.

$7 \sqrt{3} + 2 (- 14) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 16.1.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \sqrt{3} + 2 \cdot - 14 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 16.1.8.4

Forme den Ausdruck um.

$7 \sqrt{3} - 14 (- \sqrt{3})$

Schritt 16.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 14$ .

$7 \sqrt{3} + 14 \sqrt{3}$

Schritt 16.2

Addiere $7 \sqrt{3}$ und $14 \sqrt{3}$ .

$21 \sqrt{3}$

Schritt 17

$x = \frac{5 π}{6}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{5 π}{6}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 18

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{5 π}{6}$ .

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Schritt 18.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5 π}{6}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 14 \cos (\frac{5 π}{6}) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 18.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 18.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.2.1.1

$f (\frac{5 π}{6}) = 14 (- \cos (\frac{π}{6})) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 18.2.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 14 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 18.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ in den Zähler.

$f (\frac{5 π}{6}) = 14 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 18.2.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (7) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 18.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cdot (7 (\frac{- \sqrt{3}}{2})) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 18.2.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 π}{6}) = 7 (- \sqrt{3}) + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 18.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Schritt 18.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

Schritt 18.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + 7 \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

Schritt 18.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + 7 \sin (\frac{5 π}{3})$

Schritt 18.2.1.6

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + 7 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Schritt 18.2.1.7

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + 7 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 18.2.1.8

Multipliziere $7 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

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Schritt 18.2.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} - 7 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 18.2.1.8.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} + \frac{- 7 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 18.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} - \frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 18.2.2

Um $- 7 \sqrt{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - 7 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 18.2.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 18.2.3.1

Kombiniere $- 7 \sqrt{3}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 7 \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{7 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 18.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 7 \sqrt{3} \cdot 2 - 7 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 18.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 18.2.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 14 \sqrt{3} - 7 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 18.2.4.2

Subtrahiere $7 \sqrt{3}$ von $- 14 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 21 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 18.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{21 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 18.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{21 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - \frac{21 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 19

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{π}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 14 \cos (- \frac{π}{2}) - 28 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Schritt 20

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 20.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 20.1.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- 14 \cos (\frac{3 π}{2}) - 28 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Schritt 20.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- 14 \cos (\frac{π}{2}) - 28 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Schritt 20.1.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$- 14 \cdot 0 - 28 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Schritt 20.1.4

Mutltipliziere $- 14$ mit $0$ .

$0 - 28 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Schritt 20.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 20.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$0 - 28 \sin (2 \frac{- π}{2})$

Schritt 20.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - 28 \sin (2 \frac{- π}{2})$

Schritt 20.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$0 - 28 \sin (- π)$

Schritt 20.1.6

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$0 - 28 \sin (0)$

Schritt 20.1.7

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0 - 28 \cdot 0$

Schritt 20.1.8

Mutltipliziere $- 28$ mit $0$ .

$0 + 0$

Schritt 20.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 21

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 21.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Schritt 21.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 4$ , aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{π}{2})$ in die erste Ableitung $- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 21.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = - 14 \sin (- 4) + 14 \cos (2 (- 4))$

Schritt 21.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 21.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 21.2.2.1.1

Berechne $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 14 \cdot 0.75680249 + 14 \cos (2 (- 4))$

Schritt 21.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 14$ mit $0.75680249$ .

$f' (- 4) = - 10.59523493 + 14 \cos (2 (- 4))$

Schritt 21.2.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f' (- 4) = - 10.59523493 + 14 \cos (- 8)$

Schritt 21.2.2.1.4

Berechne $\cos (- 8)$ .

$f' (- 4) = - 10.59523493 + 14 \cdot - 0.14550003$

Schritt 21.2.2.1.5

Mutltipliziere $14$ mit $- 0.14550003$ .

$f' (- 4) = - 10.59523493 - 2.03700047$

Schritt 21.2.2.2

Subtrahiere $2.03700047$ von $- 10.59523493$ .

$f' (- 4) = - 12.6322354$

Schritt 21.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 12.6322354$ .

$- 12.6322354$

Schritt 21.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{6})$ in die erste Ableitung $- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 21.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = - 14 \sin (0) + 14 \cos (2 (0))$

Schritt 21.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 21.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 21.3.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f' (0) = - 14 \cdot 0 + 14 \cos (2 (0))$

Schritt 21.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 14$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 14 \cos (2 (0))$

Schritt 21.3.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 14 \cos (0)$

Schritt 21.3.2.1.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f' (0) = 0 + 14 \cdot 1$

Schritt 21.3.2.1.5

Mutltipliziere $14$ mit $1$ .

$f' (0) = 0 + 14$

Schritt 21.3.2.2

Addiere $0$ und $14$ .

$f' (0) = 14$

Schritt 21.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $14$ .

$14$

Schritt 21.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ in die erste Ableitung $- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 21.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = - 14 \sin (2) + 14 \cos (2 (2))$

Schritt 21.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 21.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 21.4.2.1.1

Berechne $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 14 \cdot 0.90929742 + 14 \cos (2 (2))$

Schritt 21.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 14$ mit $0.90929742$ .

$f' (2) = - 12.73016397 + 14 \cos (2 (2))$

Schritt 21.4.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (2) = - 12.73016397 + 14 \cos (4)$

Schritt 21.4.2.1.4

Berechne $\cos (4)$ .

$f' (2) = - 12.73016397 + 14 \cdot - 0.65364362$

Schritt 21.4.2.1.5

Mutltipliziere $14$ mit $- 0.65364362$ .

$f' (2) = - 12.73016397 - 9.15101069$

Schritt 21.4.2.2

Subtrahiere $9.15101069$ von $- 12.73016397$ .

$f' (2) = - 21.88117466$

Schritt 21.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 21.88117466$ .

$- 21.88117466$

Schritt 21.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ in die erste Ableitung $- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 21.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = - 14 \sin (4) + 14 \cos (2 (4))$

Schritt 21.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 21.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 21.5.2.1.1

Berechne $\sin (4)$ .

$f' (4) = - 14 \cdot - 0.75680249 + 14 \cos (2 (4))$

Schritt 21.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 0.75680249$ .

$f' (4) = 10.59523493 + 14 \cos (2 (4))$

Schritt 21.5.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f' (4) = 10.59523493 + 14 \cos (8)$

Schritt 21.5.2.1.4

Berechne $\cos (8)$ .

$f' (4) = 10.59523493 + 14 \cdot - 0.14550003$

Schritt 21.5.2.1.5

Mutltipliziere $14$ mit $- 0.14550003$ .

$f' (4) = 10.59523493 - 2.03700047$

Schritt 21.5.2.2

Subtrahiere $2.03700047$ von $10.59523493$ .

$f' (4) = 8.55823446$

Schritt 21.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $8.55823446$ .

$8.55823446$

Schritt 21.6

Setze eine beliebige Zahl, wie $7$ , aus dem Intervall $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ in die erste Ableitung $- 14 \sin (x) + 14 \cos (2 x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 21.6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f' (7) = - 14 \sin (7) + 14 \cos (2 (7))$

Schritt 21.6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 21.6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 21.6.2.1.1

Berechne $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 14 \cdot 0.65698659 + 14 \cos (2 (7))$

Schritt 21.6.2.1.2

Mutltipliziere $- 14$ mit $0.65698659$ .

$f' (7) = - 9.19781238 + 14 \cos (2 (7))$

Schritt 21.6.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f' (7) = - 9.19781238 + 14 \cos (14)$

Schritt 21.6.2.1.4

Berechne $\cos (14)$ .

$f' (7) = - 9.19781238 + 14 \cdot 0.13673721$

Schritt 21.6.2.1.5

Mutltipliziere $14$ mit $0.13673721$ .

$f' (7) = - 9.19781238 + 1.91432105$

Schritt 21.6.2.2

Addiere $- 9.19781238$ und $1.91432105$ .

$f' (7) = - 7.28349132$

Schritt 21.6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 7.28349132$ .

$- 7.28349132$

Schritt 21.7

Da die erste Ableitung um $x = - \frac{π}{2}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = - \frac{π}{2}$ ein lokales Minimum.

$x = - \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 21.8

Da die erste Ableitung um $x = \frac{π}{6}$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = \frac{π}{6}$ ein lokales Maximum.

$x = \frac{π}{6}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 21.9

Da die erste Ableitung um $x = \frac{5 π}{6}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = \frac{5 π}{6}$ ein lokales Minimum.

$x = \frac{5 π}{6}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 21.10

Da die erste Ableitung um $x = \frac{3 π}{2}$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = \frac{3 π}{2}$ ein lokales Maximum.

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 21.11

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 14 \cos (x) + 7 \sin (2 x)$ .

$x = - \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum

$x = \frac{π}{6}$ ist ein lokales Maximum

$x = \frac{5 π}{6}$ ist ein lokales Minimum

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Maximum

$x = - \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum

$x = \frac{π}{6}$ ist ein lokales Maximum

$x = \frac{5 π}{6}$ ist ein lokales Minimum

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 22