Analysis Beispiele

$x^{2} + \frac{480}{x}$

Schritt 1

Schreibe $x^{2} + \frac{480}{x}$ als Funktion.

$f (x) = x^{2} + \frac{480}{x}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + \frac{480}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $480$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{480}{x}$ nach $x$ gleich $480 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 480 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 x + 480 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 x + 480 (- x^{- 2})$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $480$ .

$2 x - 480 x^{- 2}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 480 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $- 480$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 480}{x^{2}}$

Schritt 2.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 x - \frac{480}{x^{2}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - \frac{480}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{480}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{480}{x^{2}})$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{480}{x^{2}})$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{480}{x^{2}})$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{480}{x^{2}})$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{480}{x^{2}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 480$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{480}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 480 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - 480 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 2 - 480 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 3.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 3.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Schritt 3.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 2 - 480 (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 3.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f'' (x) = 2 - 480 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 3.3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 480$ .

$f'' (x) = 2 + 960 x^{- 3}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + 960 (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $960$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{960}{x^{3}}$

Schritt 3.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{960}{x^{3}} + 2$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$2 x - \frac{480}{x^{2}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Differenziere.

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Schritt 5.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + \frac{480}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$

Schritt 5.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{480}{x}]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Da $480$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{480}{x}$ nach $x$ gleich $480 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 480 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 5.1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 x + 480 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 5.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 x + 480 (- x^{- 2})$

Schritt 5.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $480$ .

$2 x - 480 x^{- 2}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache.

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Schritt 5.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 480 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 5.1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.1.3.2.1

Kombiniere $- 480$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 480}{x^{2}}$

Schritt 5.1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 2 x - \frac{480}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x - \frac{480}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{480}{x^{2}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x - \frac{480}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 x - \frac{480}{x^{2}} = 0$

Schritt 6.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x^{2}, 1$

Schritt 6.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 6.3

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{480}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere jeden Term in $2 x - \frac{480}{x^{2}} = 0$ mit $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 x^{2 + 1} - \frac{480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 x^{3} - \frac{480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 6.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{480}{x^{2}}$ in den Zähler.

$2 x^{3} + \frac{- 480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 6.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 x^{3} + \frac{- 480}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 6.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 x^{3} - 480 = 0 x^{2}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 480 = 0$

Schritt 6.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Addiere $480$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} = 480$

Schritt 6.4.2

Subtrahiere $480$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} - 480 = 0$

Schritt 6.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} - 480$ heraus.

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Schritt 6.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$2 (x^{3}) - 480 = 0$

Schritt 6.4.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 480$ heraus.

$2 x^{3} + 2 \cdot - 240 = 0$

Schritt 6.4.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3} + 2 \cdot - 240$ heraus.

$2 (x^{3} - 240) = 0$

Schritt 6.4.4

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{3} - 240) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x^{3} - 240) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (x^{3} - 240)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 6.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x^{3} - 240)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 6.4.4.2.1.2

Dividiere $x^{3} - 240$ durch $1$ .

$x^{3} - 240 = \frac{0}{2}$

Schritt 6.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.4.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x^{3} - 240 = 0$

Schritt 6.4.5

Addiere $240$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = 240$

Schritt 6.4.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{240}$

Schritt 6.4.7

Vereinfache $\sqrt[3]{240}$ .

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Schritt 6.4.7.1

Schreibe $240$ als $2^{3} \cdot 30$ um.

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Schritt 6.4.7.1.1

Faktorisiere $8$ aus $240$ heraus.

$x = \sqrt[3]{8 (30)}$

Schritt 6.4.7.1.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 30}$

Schritt 6.4.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = 2 \sqrt[3]{30}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{480}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 7.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 2 \sqrt[3]{30}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 2 \sqrt[3]{30}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{960}{{(2 \sqrt[3]{30})}^{3}} + 2$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt[3]{30}$ an.

$\frac{960}{2^{3} {\sqrt[3]{30}}^{3}} + 2$

Schritt 10.1.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{960}{8 {\sqrt[3]{30}}^{3}} + 2$

Schritt 10.1.1.3

Schreibe ${\sqrt[3]{30}}^{3}$ als $30$ um.

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Schritt 10.1.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{30}$ als $30^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{960}{8 {(30^{\frac{1}{3}})}^{3}} + 2$

Schritt 10.1.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{960}{8 \cdot 30^{\frac{1}{3} \cdot 3}} + 2$

Schritt 10.1.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$\frac{960}{8 \cdot 30^{\frac{3}{3}}} + 2$

Schritt 10.1.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.1.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{960}{8 \cdot 30^{\frac{3}{3}}} + 2$

Schritt 10.1.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{960}{8 \cdot 30^{1}} + 2$

Schritt 10.1.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{960}{8 \cdot 30} + 2$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $30$ .

$\frac{960}{240} + 2$

Schritt 10.1.3

Dividiere $960$ durch $240$ .

$4 + 2$

Schritt 10.2

Addiere $4$ und $2$ .

$6$

Schritt 11

$x = 2 \sqrt[3]{30}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 2 \sqrt[3]{30}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 2 \sqrt[3]{30}$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2 \sqrt[3]{30}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = {(2 \sqrt[3]{30})}^{2} + \frac{480}{2 \sqrt[3]{30}}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt[3]{30}$ an.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 2^{2} {\sqrt[3]{30}}^{2} + \frac{480}{2 \sqrt[3]{30}}$

Schritt 12.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 {\sqrt[3]{30}}^{2} + \frac{480}{2 \sqrt[3]{30}}$

Schritt 12.2.1.3

Schreibe ${\sqrt[3]{30}}^{2}$ als $\sqrt[3]{30^{2}}$ um.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{30^{2}} + \frac{480}{2 \sqrt[3]{30}}$

Schritt 12.2.1.4

Potenziere $30$ mit $2$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{480}{2 \sqrt[3]{30}}$

Schritt 12.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $480$ und $2$ .

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Schritt 12.2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $480$ heraus.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{2 \cdot 240}{2 \sqrt[3]{30}}$

Schritt 12.2.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.1.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt[3]{30}$ heraus.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{2 \cdot 240}{2 (\sqrt[3]{30})}$

Schritt 12.2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{2 \cdot 240}{2 \sqrt[3]{30}}$

Schritt 12.2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240}{\sqrt[3]{30}}$

Schritt 12.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{240}{\sqrt[3]{30}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{30}}^{2}}{{\sqrt[3]{30}}^{2}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240}{\sqrt[3]{30}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{30}}^{2}}{{\sqrt[3]{30}}^{2}}$

Schritt 12.2.1.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.1.7.1

Mutltipliziere $\frac{240}{\sqrt[3]{30}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{30}}^{2}}{{\sqrt[3]{30}}^{2}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{\sqrt[3]{30} {\sqrt[3]{30}}^{2}}$

Schritt 12.2.1.7.2

Potenziere $\sqrt[3]{30}$ mit $1$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{\sqrt[3]{30} {\sqrt[3]{30}}^{2}}$

Schritt 12.2.1.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{{\sqrt[3]{30}}^{1 + 2}}$

Schritt 12.2.1.7.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{{\sqrt[3]{30}}^{3}}$

Schritt 12.2.1.7.5

Schreibe ${\sqrt[3]{30}}^{3}$ als $30$ um.

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Schritt 12.2.1.7.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{30}$ als $30^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{{(30^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 12.2.1.7.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{30^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 12.2.1.7.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{30^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 12.2.1.7.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.2.1.7.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{30^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 12.2.1.7.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{30}$

Schritt 12.2.1.7.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{240 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{30}$

Schritt 12.2.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $240$ und $30$ .

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Schritt 12.2.1.8.1

Faktorisiere $30$ aus $240 {\sqrt[3]{30}}^{2}$ heraus.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{30 (8 {\sqrt[3]{30}}^{2})}{30}$

Schritt 12.2.1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.1.8.2.1

Faktorisiere $30$ aus $30$ heraus.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{30 (8 {\sqrt[3]{30}}^{2})}{30 (1)}$

Schritt 12.2.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{30 (8 {\sqrt[3]{30}}^{2})}{30 \cdot 1}$

Schritt 12.2.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + \frac{8 {\sqrt[3]{30}}^{2}}{1}$

Schritt 12.2.1.8.2.4

Dividiere $8 {\sqrt[3]{30}}^{2}$ durch $1$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + 8 {\sqrt[3]{30}}^{2}$

Schritt 12.2.1.9

Schreibe ${\sqrt[3]{30}}^{2}$ als $\sqrt[3]{30^{2}}$ um.

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + 8 \sqrt[3]{30^{2}}$

Schritt 12.2.1.10

Potenziere $30$ mit $2$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 4 \sqrt[3]{900} + 8 \sqrt[3]{900}$

Schritt 12.2.2

Addiere $4 \sqrt[3]{900}$ und $8 \sqrt[3]{900}$ .

$f (2 \sqrt[3]{30}) = 12 \sqrt[3]{900}$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $12 \sqrt[3]{900}$ .

$y = 12 \sqrt[3]{900}$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x^{2} + \frac{480}{x}$ .

$(2 \sqrt[3]{30}, 12 \sqrt[3]{900})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14