Analysis Beispiele

$x - \frac{54}{x}$

Schritt 1

Schreibe $x - \frac{54}{x}$ als Funktion.

$f (x) = x - \frac{54}{x}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{54}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{54}{x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $- 54$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{54}{x}$ nach $x$ gleich $- 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 - 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$1 - 54 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$1 - 54 (- x^{- 2})$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 54$ .

$1 + 54 x^{- 2}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 54 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $54$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$1 + \frac{54}{x^{2}}$

Schritt 2.3.3

Stelle die Terme um.

$\frac{54}{x^{2}} + 1$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{54}{x^{2}} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{54}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{54}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{54}{x^{2}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Da $54$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{54}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 54 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 54 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 54 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 54 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = 54 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 54 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 54 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 54 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 54 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 54 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 54 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f'' (x) = 54 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $54$ .

$f'' (x) = - 108 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 108 x^{- 3} + 0$

Schritt 3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 108 \frac{1}{x^{3}} + 0$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $- 108$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 108}{x^{3}} + 0$

Schritt 3.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{108}{x^{3}} + 0$

Schritt 3.4.2.3

Addiere $- \frac{108}{x^{3}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{108}{x^{3}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{54}{x^{2}} + 1 = 0$

Schritt 5

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 6

Keine lokalen Extrema

Schritt 7