Analysis Beispiele

$\frac{x^{2} + 64}{x}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{2} + 64}{x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{2} + 64}{x}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} + 64$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 64] - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 64$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.2.3

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $64$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.2.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64)}{x^{2}}$

Schritt 2.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 64}{x^{2}}$

Schritt 2.9.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 64}{x^{2}}$

Schritt 2.9.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 64}{x^{2}}$

Schritt 2.9.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.3.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 8^{2}}{x^{2}}$

Schritt 2.9.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 8$ .

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 8) (x - 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 8) (x - 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 8) (x - 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 8$ und $g (x) = x - 8$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) \frac{d}{d x} (x - 8) + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) (1 + \frac{d}{d x} (- 8)) + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.3

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((x + 8) \cdot 1 + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.4.2

Mutltipliziere $x + 8$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) \frac{d}{d x} (x + 8)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8))) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} (8))) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.7

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) (1 + 0)) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + (x - 8) \cdot 1) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.8.2

Mutltipliziere $x - 8$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (x + 8 + x - 8) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 8 - 8) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.8.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.8.4.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.8.4.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (2 x) - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 8) (x - 8) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - (x + 8) (x - 8) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x + 8) (x - 8) x}{x^{4}}$

Schritt 3.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 8) (x - 8) x}{x^{4}}$

Schritt 3.9.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 16) (x - 8) x}{x^{4}}$

Schritt 3.9.2.1.2

Multipliziere $(- 2 x - 16) (x - 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 8) - 16 (x - 8)) x}{x^{4}}$

Schritt 3.9.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 16 (x - 8)) x}{x^{4}}$

Schritt 3.9.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Schritt 3.9.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.2.1.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.2.1.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Schritt 3.9.2.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 8 - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Schritt 3.9.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 16 x - 16 x - 16 \cdot - 8) x}{x^{4}}$

Schritt 3.9.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 16 x - 16 x + 128) x}{x^{4}}$

Schritt 3.9.2.1.3.2

Subtrahiere $16 x$ von $16 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 128) x}{x^{4}}$

Schritt 3.9.2.1.3.3

Addiere $- 2 x^{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 128) x}{x^{4}}$

Schritt 3.9.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 128 x}{x^{4}}$

Schritt 3.9.2.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 128 x}{x^{4}}$

Schritt 3.9.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.2.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 128 x}{x^{4}}$

Schritt 3.9.2.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 128 x}{x^{4}}$

Schritt 3.9.2.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 128 x}{x^{4}}$

Schritt 3.9.2.2

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 128 x}{x^{4}}$

Schritt 3.9.2.3

Addiere $0$ und $128 x$ .

$f'' (x) = \frac{128 x}{x^{4}}$

Schritt 3.9.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.3.1

Faktorisiere $x$ aus $128 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 128}{x^{4}}$

Schritt 3.9.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 128}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 3.9.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 128}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 3.9.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{128}{x^{3}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 64] - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 64$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [64]) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.2.3

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $64$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.2.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 5.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 64)}{x^{2}}$

Schritt 5.1.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 64}{x^{2}}$

Schritt 5.1.9.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 64}{x^{2}}$

Schritt 5.1.9.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 64}{x^{2}}$

Schritt 5.1.9.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.9.3.1

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 8^{2}}{x^{2}}$

Schritt 5.1.9.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 8$ .

$f' (x) = \frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$(x + 8) (x - 8) = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 8 = 0$

$x - 8 = 0$

Schritt 6.3.2

Setze $x + 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Setze $x + 8$ gleich $0$ .

$x + 8 = 0$

Schritt 6.3.2.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 8$

Schritt 6.3.3

Setze $x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1

Setze $x - 8$ gleich $0$ .

$x - 8 = 0$

Schritt 6.3.3.2

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 8$

Schritt 6.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 8) (x - 8) = 0$ wahr machen.

$x = - 8, 8$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{(x + 8) (x - 8)}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 7.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 7.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - 8, 8$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 8$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{128}{{(- 8)}^{3}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Potenziere $- 8$ mit $3$ .

$\frac{128}{- 512}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $128$ und $- 512$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Faktorisiere $128$ aus $128$ heraus.

$\frac{128 (1)}{- 512}$

Schritt 10.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.2.1

Faktorisiere $128$ aus $- 512$ heraus.

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot - 4}$

Schritt 10.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot - 4}$

Schritt 10.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 4}$

Schritt 10.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 11

$x = - 8$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 8$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 8$ .

$f (- 8) = \frac{{(- 8)}^{2} + 64}{- 8}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$f (- 8) = \frac{64 + 64}{- 8}$

Schritt 12.2.1.2

Addiere $64$ und $64$ .

$f (- 8) = \frac{128}{- 8}$

Schritt 12.2.2

Dividiere $128$ durch $- 8$ .

$f (- 8) = - 16$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 16$ .

$y = - 16$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 8$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{128}{{(8)}^{3}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{128}{512}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $128$ und $512$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1

Faktorisiere $128$ aus $128$ heraus.

$\frac{128 (1)}{512}$

Schritt 14.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.2.1

Faktorisiere $128$ aus $512$ heraus.

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 4}$

Schritt 14.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 4}$

Schritt 14.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 15

$x = 8$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 8$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $8$ .

$f (8) = \frac{{(8)}^{2} + 64}{8}$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$f (8) = \frac{64 + 64}{8}$

Schritt 16.2.1.2

Addiere $64$ und $64$ .

$f (8) = \frac{128}{8}$

Schritt 16.2.2

Dividiere $128$ durch $8$ .

$f (8) = 16$

Schritt 16.2.3

Die endgültige Lösung ist $16$ .

$y = 16$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{x^{2} + 64}{x}$ .

$(- 8, - 16)$ ist ein lokales Maximum

$(8, 16)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 18