Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{x + 2}$ , $[1, 4]$

Schritt 1

Wenn $f$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist und differenzierbar im Intervall $(a, b)$ , dann gibt es mindestens eine reelle Zahl $c$ im Intervall $(a, b)$ derart, dass $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Der Mittelwertsatz drückt das Verhältnis aus zwischen der Steigung der Tangente an die Kurve im Punkt $x = c$ und der Steigung der Geraden durch die Punkte $(a, f (a))$ und $(b, f (b))$ .

Wenn $f (x)$ stetig im Intervall $[a, b]$ ist

und wenn $f (x)$ im Intervall $(a, b)$ differenzierbar ist,

dann gibt es mindestens einen Punkt $c$ in $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Schritt 2

Überprüfe, ob $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ stetig ist.

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Schritt 2.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $[1, 4]$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{x}{x + 2}$ .

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Schritt 2.1.1

Setze den Nenner in $\frac{x}{x + 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 2 = 0$

Schritt 2.1.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 2}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 2}$

Schritt 2.2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[1, 4]$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 3

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 3.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 3.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.1.2

Differenziere.

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Schritt 3.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $x + 2$ mit $1$ .

$\frac{x + 2 - x \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{x + 2 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x + 2 - x (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x + 2 - x (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.6

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.1.2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{x + 2 - x \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x + 2 - x}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{0 + 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.1.2.6.4

Addiere $0$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4

Bestimme, ob die Ableitung im Intervall $(1, 4)$ stetig ist.

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Schritt 4.1

Um herauszufinden, ob die Funktion im Intervall $(1, 4)$ stetig ist oder nicht, ermittle den Definitionsbereich von $f' (x) = \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

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Schritt 4.1.1

Setze den Nenner in $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Schritt 4.1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 4.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 2}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 2}$

Schritt 4.2

$f' (x)$ ist stetig im Intervall $(1, 4)$ .

Die Funktion ist stetig.

Schritt 5

Die Funktion ist im Intervall $(1, 4)$ differenzierbar, da die Ableitung im Intervall $(1, 4)$ stetig ist.

Die Funktion ist differenzierbar.

Schritt 6

Die Funktion $f (x)$ erfüllt die beiden Bedingungen des Mittelwertsatzes. Sie ist stetig im Intervall $[1, 4]$ und differenzierbar im Intervall $(1, 4)$ .

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[1, 4]$ und differenzierbar im Intervall $(1, 4)$ .

Schritt 7

Berechne $f (a)$ aus dem Intervall $[1, 4]$ .

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{1}{(1) + 2}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Addiere $1$ und $2$ .

$f (1) = \frac{1}{3}$

Schritt 7.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 8

Berechne $f (b)$ aus dem Intervall $[1, 4]$ .

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = \frac{4}{(4) + 2}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $(4) + 2$ .

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Schritt 8.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{4 + 2}$

Schritt 8.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 (2) + 2}$

Schritt 8.2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2 + 2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2 + 2 \cdot 1$ heraus.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

Schritt 8.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot (2 + 1)}$

Schritt 8.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f (4) = \frac{2}{2 + 1}$

Schritt 8.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f (4) = \frac{2}{3}$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Schritt 9

Löse $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ nach $x$ auf. $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{- (f (4) + f (1))}{- (4 + 1)}$ .

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Schritt 9.1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Multipliziere $- 1$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

Schritt 9.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 1}{3}}{(4) - (1)}$

Schritt 9.1.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{(4) - (1)}$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{4 - 1}$

Schritt 9.1.5

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{3}$

Schritt 9.1.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 9.1.7

Multipliziere $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 9.1.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3 \cdot 3}$

Schritt 9.1.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$

Schritt 9.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 9.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

${(x + 2)}^{2}, 9$

Schritt 9.2.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 9.2.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 9.2.4

$9$ hat Faktoren von $3$ und $3$ .

$3 \cdot 3$

Schritt 9.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9$

Schritt 9.2.6

Die Teiler von $x + 2$ sind $(x + 2) \cdot (x + 2)$ , was $x + 2$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$(x + 2) = (x + 2) \cdot (x + 2)$

$(x + 2)$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 9.2.7

Das kgV von ${(x + 2)}^{2}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

${(x + 2)}^{2}$

Schritt 9.2.8

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$9 {(x + 2)}^{2}$

Schritt 9.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ mit $9 {(x + 2)}^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 9.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{9}$ mit $9 {(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{2}{{(x + 2)}^{2}} (9 {(x + 2)}^{2}) = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Schritt 9.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Schritt 9.3.2.2

Multipliziere $9 \frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

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Schritt 9.3.2.2.1

Kombiniere $9$ und $\frac{2}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{9 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Schritt 9.3.2.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Schritt 9.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 9.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{18}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Schritt 9.3.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Schritt 9.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 9.3.3.1.1

Faktorisiere $9$ aus $9 {(x + 2)}^{2}$ heraus.

$18 = \frac{1}{9} (9 ({(x + 2)}^{2}))$

Schritt 9.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$18 = \frac{1}{9} (9 {(x + 2)}^{2})$

Schritt 9.3.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$18 = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 9.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 9.4.1

Schreibe die Gleichung als ${(x + 2)}^{2} = 18$ um.

${(x + 2)}^{2} = 18$

Schritt 9.4.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x + 2 = \pm \sqrt{18}$

Schritt 9.4.3

Vereinfache $\pm \sqrt{18}$ .

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Schritt 9.4.3.1

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 9.4.3.1.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$x + 2 = \pm \sqrt{9 (2)}$

Schritt 9.4.3.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x + 2 = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 2}$

Schritt 9.4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x + 2 = \pm 3 \sqrt{2}$

Schritt 9.4.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 9.4.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x + 2 = 3 \sqrt{2}$

Schritt 9.4.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3 \sqrt{2} - 2$

Schritt 9.4.4.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x + 2 = - 3 \sqrt{2}$

Schritt 9.4.4.4

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3 \sqrt{2} - 2$

Schritt 9.4.4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 \sqrt{2} - 2, - 3 \sqrt{2} - 2$

Schritt 10

Es gibt eine Tangente bei $x = 3 \sqrt{2} - 2$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 1$ und $b = 4$ verläuft.

Es gibt eine Tangente bei $x = 3 \sqrt{2} - 2$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 1$ und $b = 4$ verläuft

Schritt 11

Es gibt eine Tangente bei $x = - 3 \sqrt{2} - 2$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 1$ und $b = 4$ verläuft.

Es gibt eine Tangente bei $x = - 3 \sqrt{2} - 2$ parallel zur Geraden, die durch die Endpunkte $a = 1$ und $b = 4$ verläuft

Schritt 12