Analysis Beispiele

$y = \ln (9 + \ln (x))$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 9 + \ln (x)$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $9 + \ln (x)$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \frac{d}{d x} [9 + \ln (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 + \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 1.2.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 1.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{9 + \ln (x)} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{9 + \ln (x)}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{(9 + \ln (x)) x}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{9 x + \ln (x) x}$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{x \ln (x) + 9 x}$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (x) + 9 x$ heraus.

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Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (x)$ heraus.

$\frac{1}{x (\ln (x)) + 9 x}$

Schritt 1.5.3.2

Faktorisiere $x$ aus $9 x$ heraus.

$\frac{1}{x (\ln (x)) + x \cdot 9}$

Schritt 1.5.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (x)) + x \cdot 9$ heraus.

$f' (x) = \frac{1}{x (\ln (x) + 9)}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{1}{x (\ln (x) + 9)}$ als ${(x (\ln (x) + 9))}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x (\ln (x) + 9))}^{- 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x (\ln (x) + 9)$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x (\ln (x) + 9)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x (\ln (x) + 9)$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} \frac{d}{d x} [x (\ln (x) + 9)]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x) + 9$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x) + 9] + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\ln (x) + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [9]) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.5

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [9]) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.6

Differenziere.

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Schritt 2.6.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x (\frac{1}{x} + 0) + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.6.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.6.2.1

Addiere $\frac{1}{x}$ und $0$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (x \frac{1}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.6.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (\frac{x}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.6.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (\frac{x}{x} + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.6.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + (\ln (x) + 9) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + (\ln (x) + 9) \cdot 1)$

Schritt 2.6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.4.1

Mutltipliziere $\ln (x) + 9$ mit $1$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (1 + \ln (x) + 9)$

Schritt 2.6.4.2

Addiere $1$ und $9$ .

$- {(x (\ln (x) + 9))}^{- 2} (10 + \ln (x))$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x (\ln (x) + 9))}^{2}} (10 + \ln (x))$

Schritt 2.7.2

Wende die Produktregel auf $x (\ln (x) + 9)$ an.

$- \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}} (10 + \ln (x))$

Schritt 2.7.3

Stelle die Faktoren von $- \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}} (10 + \ln (x))$ um.

$- (10 + \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Schritt 2.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(- 1 \cdot 10 - \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Schritt 2.7.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$(- 10 - \ln (x)) \frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Schritt 2.7.6

Mutltipliziere $- 10 - \ln (x)$ mit $\frac{1}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 10 - \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Schritt 2.7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 10 - \ln (x)$ heraus.

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Schritt 2.7.7.1

Schreibe $- 10$ als $- 1 (10)$ um.

$\frac{- 1 (10) - \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Schritt 2.7.7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (x)$ heraus.

$\frac{- 1 (10) - (\ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Schritt 2.7.7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (10) - (\ln (x))$ heraus.

$\frac{- 1 (10 + \ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Schritt 2.7.7.4

Schreibe $- 1 (10 + \ln (x))$ als $- (10 + \ln (x))$ um.

$\frac{- (10 + \ln (x))}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$

Schritt 2.7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{10 + \ln (x)}{x^{2} {(\ln (x) + 9)}^{2}}$