Analysis Beispiele

$y = \frac{2 x^{3} + 9}{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x^{3} + 9$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 9] - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9]) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9]) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [9]) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.5

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (6 x^{2} + 0) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.6

Addiere $6 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{x (6 x^{2}) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{2}) - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 x^{1 + 2} - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 9) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3} + 9)}{x^{2}}$

Schritt 1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 x^{3} - (2 x^{3}) - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

Schritt 1.8.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

Schritt 1.8.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{6 x^{3} - 2 x^{3} - 9}{x^{2}}$

Schritt 1.8.2.2

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $6 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 9}{x^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 9] - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 9] - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 9] - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{2} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x^{2} (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9]) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9]) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.6

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{2} + 0) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.7

Addiere $12 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{x^{2} (12 x^{2}) - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} \cdot 12 - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2 + 2} \cdot 12 - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{x^{4} \cdot 12 - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.4

Bringe $12$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$\frac{12 \cdot x^{4} - (4 x^{3} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{12 x^{4} - (4 x^{3} - 9) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 x^{3} - 9) x}{x^{4}}$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 x^{4} + (- 2 (4 x^{3}) - 2 \cdot - 9) x}{x^{4}}$

Schritt 2.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 x^{3}) x - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

Schritt 2.7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.3.1.1

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 (x \cdot x^{3})) - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

Schritt 2.7.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 2.7.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 (x^{1} x^{3})) - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

Schritt 2.7.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 x^{1 + 3}) - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

Schritt 2.7.3.1.1.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{12 x^{4} - 2 (4 x^{4}) - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

Schritt 2.7.3.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$\frac{12 x^{4} - 8 x^{4} - 2 \cdot - 9 x}{x^{4}}$

Schritt 2.7.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 9$ .

$\frac{12 x^{4} - 8 x^{4} + 18 x}{x^{4}}$

Schritt 2.7.3.2

Subtrahiere $8 x^{4}$ von $12 x^{4}$ .

$\frac{4 x^{4} + 18 x}{x^{4}}$

Schritt 2.7.4

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x^{4} + 18 x$ heraus.

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Schritt 2.7.4.1

Faktorisiere $2 x$ aus $4 x^{4}$ heraus.

$\frac{2 x (2 x^{3}) + 18 x}{x^{4}}$

Schritt 2.7.4.2

Faktorisiere $2 x$ aus $18 x$ heraus.

$\frac{2 x (2 x^{3}) + 2 x (9)}{x^{4}}$

Schritt 2.7.4.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (2 x^{3}) + 2 x (9)$ heraus.

$\frac{2 x (2 x^{3} + 9)}{x^{4}}$

Schritt 2.7.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

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Schritt 2.7.5.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x (2 x^{3} + 9)$ heraus.

$\frac{x (2 (2 x^{3} + 9))}{x^{4}}$

Schritt 2.7.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.5.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x (2 (2 x^{3} + 9))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.7.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (2 (2 x^{3} + 9))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.7.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{3} + 9)}{x^{3}}$