Analysis Beispiele

$y = 8 x \sin (x^{2})$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x \sin (x^{2})$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x \sin (x^{2})]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (x^{2})$ .

$8 (x \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$8 (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$8 (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$8 (x (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 (x (\cos (x^{2}) (2 x)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$8 (x^{1} x (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$8 (x^{1} x^{1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 (x^{1 + 1} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.8

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$8 (x^{2} (\cos (x^{2}) \cdot (2)) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (x^{2})$ .

$8 (x^{2} (2 \cdot \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}) \cdot 1)$

Schritt 1.10

Mutltipliziere $\sin (x^{2})$ mit $1$ .

$8 (x^{2} (2 \cos (x^{2})) + \sin (x^{2}))$

Schritt 1.11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (x^{2} (2 \cos (x^{2}))) + 8 \sin (x^{2})$

Schritt 1.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$f' (x) = 16 x^{2} \cos (x^{2}) + 8 \sin (x^{2})$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 x^{2} \cos (x^{2}) + 8 \sin (x^{2})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16 x^{2} \cos (x^{2})] + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} \cos (x^{2})] + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x^{2} \cos (x^{2})]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{2} \cos (x^{2})$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{2})]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x^{2})] + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x^{2})$ .

$16 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x^{2})] + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$16 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Schritt 2.2.3.2

Die Ableitung von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \sin (u_{1})$ .

$16 (x^{2} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$16 (x^{2} (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$16 (x^{2} (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$16 (x^{2} (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$16 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Schritt 2.2.7

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.7.1

Bewege $x$ .

$16 (x \cdot x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Schritt 2.2.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$16 (x^{1} x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Schritt 2.2.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$16 (x^{1 + 2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Schritt 2.2.7.3

Addiere $1$ und $2$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 \sin (x^{2})]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 \sin (x^{2})$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 8 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 8 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 8 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2}$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 8 (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 8 (\cos (x^{2}) (2 x))$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) (2 x)) + 16 \cos (x^{2}) x$

Schritt 2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$16 (x^{3} (- 2 \sin (x^{2}))) + 16 (\cos (x^{2}) (2 x)) + 16 \cos (x^{2}) x$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $16$ .

$- 32 (x^{3} (\sin (x^{2}))) + 16 (\cos (x^{2}) (2 x)) + 16 \cos (x^{2}) x$

Schritt 2.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$- 32 x^{3} \sin (x^{2}) + 32 (\cos (x^{2}) (x)) + 16 \cos (x^{2}) x$

Schritt 2.4.2.3

Addiere $32 \cos (x^{2}) x$ und $16 \cos (x^{2}) x$ .

$- 32 x^{3} \sin (x^{2}) + 48 \cos (x^{2}) x$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - 32 x^{3} \sin (x^{2}) + 48 x \cos (x^{2})$