Analysis Beispiele

$y = \cot (x) + 3 x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cot (x) + 3 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\cot (x)$ nach $x$ ist $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \csc^{2} (x) + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \csc^{2} (x) + 3 (2 x)$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \csc^{2} (x) + 6 x$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 6 x - \csc^{2} (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x - \csc^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \csc^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \csc^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$6 - \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \csc (x)$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\csc (x)$ .

$6 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 - (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\csc (x)$ .

$6 - (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 2.3.3

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$6 - (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6 - (- 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Schritt 2.3.5

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$6 - (- 2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x))$

Schritt 2.3.6

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$6 - (- 2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x))$

Schritt 2.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 - (- 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x))$

Schritt 2.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$6 - (- 2 \csc^{2} (x) \cot (x))$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$6 + 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (x) \cot (x) + 6$