Analysis Beispiele

$y = - 100 x^{\frac{1}{4}}$

Schritt 1

Schreibe $y = - 100 x^{\frac{1}{4}}$ als Funktion.

$f (x) = - 100 x^{\frac{1}{4}}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Da $- 100$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 100 x^{\frac{1}{4}}$ nach $x$ gleich $- 100 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$- 100 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{4}$ .

$- 100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1})$

Schritt 2.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- 100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Schritt 2.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$- 100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 100 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}})$

Schritt 2.1.6.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- 100 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}})$

Schritt 2.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 100 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}})$

Schritt 2.1.8

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$- 100 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Schritt 2.1.9

Kombiniere $- 100$ und $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{- 100 x^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Schritt 2.1.10

Bringe $x^{- \frac{3}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 100}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 2.1.11

Faktorisiere $4$ aus $- 100$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 25}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 2.1.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.12.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{\frac{3}{4}}$ heraus.

$\frac{4 \cdot - 25}{4 (x^{\frac{3}{4}})}$

Schritt 2.1.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot - 25}{4 x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 2.1.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 25}{x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 2.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{25}{x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{25}{x^{\frac{3}{4}}}$ .

$- \frac{25}{x^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{25}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{25}{x^{\frac{3}{4}}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$25 = 0$

Schritt 3.3

Da $25 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 4

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 5

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 5.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{25}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

Schritt 5.2

Setze den Nenner in $\frac{25}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[4]{x^{3}} = 0$

Schritt 5.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $4$ . Potenz.

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 0^{4}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{4}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Schritt 5.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 5.3.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Schritt 5.3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Schritt 5.3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} = 0^{4}$

Schritt 5.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 5.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 5.4

Setze den Radikanden in $\sqrt[4]{x^{3}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} < 0$

Schritt 5.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < \sqrt[3]{0}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 5.5.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 5.5.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < 0$

Schritt 5.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 6

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - \frac{25}{x^{\frac{3}{4}}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = - 100 x^{\frac{1}{4}}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{25}{{(- 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 7.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{25}{{(- 1)}^{\frac{3}{4}}}$ .

$- \frac{25}{{(- 1)}^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 7.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $- \frac{25}{{(- 1)}^{\frac{3}{4}}}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = - \frac{25}{{(1)}^{\frac{3}{4}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = - \frac{25}{1}$

Schritt 8.2.2

Dividiere $25$ durch $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 25$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$f' (1) = - 25$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 25$ .

$- 25$

Schritt 8.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $- 25$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Schritt 10