Analysis Beispiele

$f (x) = x (6 - x)$ ; $(- \infty, \infty)$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 6 - x$ .

$x \frac{d}{d x} [6 - x] + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.2.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x \frac{d}{d x} [- x] + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- \frac{d}{d x} [x]) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- 1 \cdot 1) + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x \cdot - 1 + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.2.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 1 \cdot x + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.2.6.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- x + (6 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.1.2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- x + (6 - x) \cdot 1$

Schritt 1.1.1.2.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.1.1.2.8.1

Mutltipliziere $6 - x$ mit $1$ .

$- x + 6 - x$

Schritt 1.1.1.2.8.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$f' (x) = - 2 x + 6$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 2 x + 6$ .

$- 2 x + 6$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 2 x + 6 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 2 x + 6 = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 6$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 6$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 6$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 6}{- 2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 6}{- 2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 2}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $- 6$ durch $- 2$ .

$x = 3$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $x (6 - x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 3$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$(3) (6 - (3))$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 (6 - 3)$

Schritt 1.4.1.2.2

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$3 \cdot 3$

Schritt 1.4.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9$

Schritt 1.4.2

Liste all Punkte auf.

$(3, 9)$

Schritt 2

Verwende den Test ersten Ableitung um zu ermitteln, welche Punkte ein Maximum oder ein Minimum sein können.

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Schritt 2.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 2.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \infty, 3)$ in die erste Ableitung $- 2 x + 6$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 2.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = - 2 \cdot 0 + 6$

Schritt 2.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 6$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $0$ und $6$ .

$f' (0) = 6$

Schritt 2.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $6$ .

$6$

Schritt 2.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $6$ , aus dem Intervall $(3, \infty)$ in die erste Ableitung $- 2 x + 6$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 2.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f' (6) = - 2 \cdot 6 + 6$

Schritt 2.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $6$ .

$f' (6) = - 12 + 6$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $- 12$ und $6$ .

$f' (6) = - 6$

Schritt 2.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 6$ .

$- 6$

Schritt 2.4

Da die erste Ableitung um $x = 3$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 3$ ein lokales Maximum.

$x = 3$ ist ein lokales Maximum

Schritt 3

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $f (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $f (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $f (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(3, 9)$

Kein absolutes Minimum

Schritt 4