Analysis Beispiele

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{7^{n}}{4^{n + 3}}$

Schritt 1

Die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $\frac{a}{1 - r}$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{n}$ und $a_{n + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{\frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}}}{\frac{7^{n}}{4^{n + 3}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$r = \frac{7^{n + 1}}{4^{n + 1 + 3}} \cdot \frac{4^{n + 3}}{7^{n}}$

Schritt 2.2.2

Kombinieren.

$r = \frac{7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $7^{n + 1}$ und $7^{n}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $7^{n}$ aus $7^{n + 1} \cdot 4^{n + 3}$ heraus.

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}}$

Schritt 2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Faktorisiere $7^{n}$ aus $4^{n + 1 + 3} \cdot 7^{n}$ heraus.

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{7^{n} (7 \cdot 4^{n + 3})}{7^{n} \cdot 4^{n + 1 + 3}}$

Schritt 2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3}}{4^{n + 1 + 3}}$

Schritt 2.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{n + 3}$ und $4^{n + 1 + 3}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Faktorisiere $4^{n + 1 + 3}$ aus $7 \cdot 4^{n + 3}$ heraus.

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3}}$

Schritt 2.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{4^{n + 1 + 3} (7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)})}{4^{n + 1 + 3} \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}}{1}$

Schritt 2.2.4.2.4

Dividiere $7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$ durch $1$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 1 + 3)}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.5.1

Addiere $1$ und $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - (n + 4)}$

Schritt 2.2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 1 \cdot 4}$

Schritt 2.2.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$r = 7 \cdot 4^{n + 3 - n - 4}$

Schritt 2.2.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $n + 3 - n - 4$ .

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Schritt 2.2.6.1

Subtrahiere $n$ von $n$ .

$r = 7 \cdot 4^{0 + 3 - 4}$

Schritt 2.2.6.2

Addiere $0$ und $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{3 - 4}$

Schritt 2.2.7

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$r = 7 \cdot 4^{- 1}$

Schritt 2.2.8

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = 7 \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 2.2.9

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{4}$ .

$r = \frac{7}{4}$

Schritt 3

Check if the series is convergent or divergent.

Since $| r | \geq 1$ , the series diverges.