Analysis Beispiele

$1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 1.1.1.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ als ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ um.

$0 - \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{2}{3}}$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{2}{3}}$ .

$0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 - (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.6.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Schritt 1.1.2.6.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 2$ .

$0 - (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$0 - (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.10.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.12

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$0 - (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.13

Kombiniere $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ und $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$0 - - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.14

Multipliziere $x^{- \frac{1}{3}}$ mit $x^{- \frac{4}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.14.1

Bewege $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$0 - - \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.14.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 - - \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.14.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 - - \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.14.4

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$0 - - \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.14.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 - - \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.15

Bringe $x^{- \frac{5}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - - \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 + 1 \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.17

Mutltipliziere $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ mit $1$ .

$0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot 0$

Schritt 1.1.2.18

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ mit $0$ .

$0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} + 0$

Schritt 1.1.2.19

Addiere $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ und $0$ .

$0 + \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 1.1.3

Addiere $0$ und $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 = 0$

Schritt 2.3

Da $2 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{5}}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{5}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{x^{5}} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{x^{5}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{5}}$ als $x^{\frac{5}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 x^{\frac{5}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 x^{\frac{5}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{5}{3}}$ an.

$3^{3} {(x^{\frac{5}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {(x^{\frac{5}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{5}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{5}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 x^{\frac{5}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 x^{5} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 x^{5} = 0$

Schritt 3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x^{5} = 0$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x^{5} = 0$ durch $27$ .

$\frac{27 x^{5}}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 3.3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 3.3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 x^{5}}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 3.3.3.1.2.1.2

Dividiere $x^{5}$ durch $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{27}$

Schritt 3.3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $27$ .

$x^{5} = 0$

Schritt 3.3.3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[5]{0}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache $\sqrt[5]{0}$ .

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Schritt 3.3.3.3.1

Schreibe $0$ als $0^{5}$ um.

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Schritt 3.3.3.3.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 4

Werte $1 - \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$1 - \frac{1}{{(0)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$1 - \frac{1}{{(0^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - \frac{1}{0^{3 (\frac{2}{3})}}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 - \frac{1}{0^{3 (\frac{2}{3})}}$

Schritt 4.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - \frac{1}{0^{2}}$

Schritt 4.1.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$1 - \frac{1}{0}$

Schritt 4.1.2.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 5

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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