Analysis Beispiele

$- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 18 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}]$ .

$- 18 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.1.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere ${(x^{2} - 9)}^{2}$ mit $1$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{2}]}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Schritt 1.1.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 9$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 9$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 18 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2

Faktorisiere $x^{2} - 9$ aus ${(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ heraus.

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Schritt 1.1.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 9$ aus ${(x^{2} - 9)}^{2}$ heraus.

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.2

Faktorisiere $x^{2} - 9$ aus $- 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ heraus.

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.5.2.3

Faktorisiere $x^{2} - 9$ aus $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))$ heraus.

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Schritt 1.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.6.1

Faktorisiere $x^{2} - 9$ aus ${(x^{2} - 9)}^{4}$ heraus.

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 18 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.9

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.14

Addiere $1$ und $1$ .

$- 18 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.15

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- 18 \frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.16

Kombiniere $- 18$ und $\frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ .

$\frac{- 18 (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{18 (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.18

Vereinfache.

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Schritt 1.1.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{18 (- 3 x^{2}) + 18 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.18.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.18.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $18$ .

$- \frac{- 54 x^{2} + 18 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 1.1.18.2.2

Mutltipliziere $18$ mit $- 9$ .

$f' (x) = - \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ .

$- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$- 54 x^{2} - 162 = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $162$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 54 x^{2} = 162$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 54 x^{2} = 162$ durch $- 54$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 54 x^{2} = 162$ durch $- 54$ .

$\frac{- 54 x^{2}}{- 54} = \frac{162}{- 54}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 54$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 54 x^{2}}{- 54} = \frac{162}{- 54}$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{162}{- 54}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.1

Dividiere $162$ durch $- 54$ .

$x^{2} = - 3$

Schritt 2.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Schritt 2.3.4.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Schritt 2.3.4.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \sqrt{3}$

Schritt 2.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i \sqrt{3}$

Schritt 2.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i \sqrt{3}$

Schritt 2.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{- 54 x^{2} - 162}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x^{2} - 9)}^{3} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

${(x^{2} - 3^{2})}^{3} = 0$

Schritt 3.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

${((x + 3) (x - 3))}^{3} = 0$

Schritt 3.2.1.3

Wende die Produktregel auf $(x + 3) (x - 3)$ an.

${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3} = 0$

Schritt 3.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

${(x - 3)}^{3} = 0$

Schritt 3.2.3

Setze ${(x + 3)}^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.3.1

Setze ${(x + 3)}^{3}$ gleich $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

Schritt 3.2.3.2

Löse ${(x + 3)}^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.3.2.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 3.2.3.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3.2.4

Setze ${(x - 3)}^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.4.1

Setze ${(x - 3)}^{3}$ gleich $0$ .

${(x - 3)}^{3} = 0$

Schritt 3.2.4.2

Löse ${(x - 3)}^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.4.2.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.2.4.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 3)}^{3} {(x - 3)}^{3} = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3$

Schritt 3.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 3, x = 3$

Schritt 4

Werte $- \frac{18 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - 3$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- 3$ .

$- \frac{18 (- 3)}{{({(- 3)}^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$- \frac{18 (- 3)}{{(9 - 9)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$- \frac{18 (- 3)}{0^{2}}$

Schritt 4.1.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{18 (- 3)}{0}$

Schritt 4.1.2.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 3$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$- \frac{18 (3)}{{({(3)}^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{18 (3)}{{(9 - 9)}^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$- \frac{18 (3)}{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{18 (3)}{0}$

Schritt 4.2.2.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 5

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden