Analysis Beispiele

$x^{- 3} \ln (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{- 3}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{- 3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x^{- 3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Schritt 1.1.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.3.1

Kombiniere $x^{- 3}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{- 3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Schritt 1.1.3.2

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Schritt 1.1.4

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 1.1.4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Schritt 1.1.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{x^{1 + 3}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{1}{x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$\frac{1}{x^{4}} + \ln (x) (- 3 x^{- 4})$

Schritt 1.1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.6.1

Stelle die Terme um.

$- 3 x^{- 4} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.1.6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.6.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.1.6.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.1.6.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{x^{4}} \ln (x) + \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.1.6.2.4

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{3}{x^{4}}$ .

$- \frac{\ln (x) \cdot 3}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.1.6.2.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\ln (x)$ .

$f' (x) = - \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $\frac{1}{x^{4}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{3 \ln (x)}{x^{4}} = - \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 2.3

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$- 3 \ln (x) = - 1$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \ln (x) = - 1$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 \ln (x) = - 1$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 \ln (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 2.4.2.1.2

Dividiere $\ln (x)$ durch $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\ln (x) = \frac{1}{3}$

Schritt 2.5

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.6

Schreibe $\ln (x) = \frac{1}{3}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3}} = x$

Schritt 2.7

Schreibe die Gleichung als $x = e^{\frac{1}{3}}$ um.

$x = e^{\frac{1}{3}}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{3 \ln (x)}{x^{4}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{4} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{4}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Schritt 3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.3

Setze das Argument in $\ln (x)$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 3.4

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 4

Werte $x^{- 3} \ln (x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = e^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $e^{\frac{1}{3}}$ .

${(e^{\frac{1}{3}})}^{- 3} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{\frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{1}{3} \cdot - 3} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

Schritt 4.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$e^{\frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

Schritt 4.1.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

Schritt 4.1.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{- 1} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

Schritt 4.1.2.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} \ln (e^{\frac{1}{3}})$

Schritt 4.1.2.3

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $\frac{1}{3}$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$\frac{1}{e} (\frac{1}{3} \ln (e))$

Schritt 4.1.2.4

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\frac{1}{e} (\frac{1}{3} \cdot 1)$

Schritt 4.1.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{e} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 4.1.2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{e}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{e \cdot 3}$

Schritt 4.1.2.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e$ .

$\frac{1}{3 e}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{- 3} \ln (0)$

Schritt 4.2.2

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(e^{\frac{1}{3}}, \frac{1}{3 e})$

Schritt 5