Analysis Beispiele

$\int x^{2} \sqrt{1 - x} d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = \sqrt{1 - x}$ .

$x^{2} (- \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$x^{2} (- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{x^{2} ({(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Schritt 2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Schritt 3

Da $- \frac{2}{3} \cdot 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{2}{3} \cdot 2$ aus dem Integral.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (- \frac{2}{3} \cdot 2 \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (- 2 (\frac{2}{3}) \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Schritt 4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{- 2 \cdot 2}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{- 4}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (- \frac{4}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + 1 (\frac{4}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

Schritt 5

Sei $u = 1 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Schritt 5.1.2

Differenziere.

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Schritt 5.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 5.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 1$

Schritt 5.1.4

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- 1$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} \int - u^{\frac{3}{2}} (- u + 1) d u$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} (- u + 1) d u)$

Schritt 7

Multipliziere $u^{\frac{3}{2}} (- u + 1)$ aus.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} (- u) + u^{\frac{3}{2}} \cdot 1 d u)$

Schritt 7.2

Stelle $u^{\frac{3}{2}}$ und $- 1$ um.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - 1 \cdot u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} \cdot 1 d u)$

Schritt 7.3

Stelle $u^{\frac{3}{2}}$ und $1$ um.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - 1 \cdot u^{\frac{3}{2}} u + 1 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 7.4

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - (u^{\frac{3}{2}} u) + 1 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 7.5

Potenziere $u$ mit $1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - (u^{\frac{3}{2}} u^{1}) + 1 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 7.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - u^{\frac{3}{2} + 1} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 7.7

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 7.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - u^{\frac{3 + 2}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 7.9

Addiere $3$ und $2$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - u^{\frac{5}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 7.10

Mutltipliziere $u^{\frac{3}{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int - u^{\frac{5}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 7.11

Stelle $- u^{\frac{5}{2}}$ und $u^{\frac{3}{2}}$ um.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}} d u)$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- (\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - u^{\frac{5}{2}} d u))$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \int - u^{\frac{5}{2}} d u))$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C + \int - u^{\frac{5}{2}} d u))$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C - \int u^{\frac{5}{2}} d u))$

Schritt 12

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{5}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C - (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C)))$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Kombiniere $\frac{2}{7}$ und $u^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{x^{2} (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C - (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C)))$

Schritt 13.2

Vereinfache.

$- \frac{2}{3} x^{2} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})) + C$

Schritt 13.3

Vereinfache.

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Schritt 13.3.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{x^{2} \cdot 2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})) + C$

Schritt 13.3.2

Kombiniere ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{x^{2} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} \cdot 2)}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})) + C$

Schritt 13.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot x^{2})}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})) + C$

Schritt 13.3.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})) + C$

Schritt 13.3.5

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})) + C$

Schritt 13.3.6

Kombiniere $u^{\frac{7}{2}}$ und $\frac{2}{7}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{u^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{7})) + C$

Schritt 13.3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot u^{\frac{7}{2}}}{7})) + C$

Schritt 13.3.8

Um $\frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})) \cdot \frac{3}{3} + C$

Schritt 13.3.9

Kombiniere $\frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}))$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{3} + \frac{\frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})) \cdot 3}{3} + C$

Schritt 13.3.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} + \frac{4}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})) \cdot 3}{3} + C$

Schritt 13.3.11

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $3$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot \frac{4 \cdot 3}{3}}{3} + C$

Schritt 13.3.12

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot \frac{12}{3}}{3} + C$

Schritt 13.3.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $3$ .

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Schritt 13.3.13.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot \frac{3 \cdot 4}{3}}{3} + C$

Schritt 13.3.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.3.13.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot \frac{3 \cdot 4}{3 (1)}}{3} + C$

Schritt 13.3.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1}}{3} + C$

Schritt 13.3.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot \frac{4}{1}}{3} + C$

Schritt 13.3.13.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot 4}{3} + C$

Schritt 13.3.14

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - 4 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $1 - x$ .

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - 4 (\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C$

Schritt 15

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} (- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x^{2} - 4 (\frac{2}{5} {(1 - x)}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{7} {(1 - x)}^{\frac{7}{2}})) + C$