Analysis Beispiele

$16 \sin^{2} (2 x)$

Schritt 1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $16$ aus dem Integral.

$16 \int \sin^{2} (2 x) d x$

Schritt 2

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$16 \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 3

Kombiniere $\sin^{2} (u_{1})$ und $\frac{1}{2}$ .

$16 \int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$16 (\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $16$ .

$\frac{16}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 \cdot 8}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{1} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 5.2.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 6

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (u_{1})$ als $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ neu zu schreiben.

$8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $8$ .

$\frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 8.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$4 (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 12

Sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 12.1

Es sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 12.1.1

Differenziere $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Schritt 12.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 12.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 12.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 12.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$4 (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Schritt 13

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$4 (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 14

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Schritt 15

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$4 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Schritt 16

Vereinfache.

$4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Schritt 17

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 17.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$4 (2 x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Schritt 17.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 u_{1}$ .

$4 (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Schritt 17.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$4 (2 x - \frac{1}{2} \sin (2 (2 x))) + C$

Schritt 18

Vereinfache.

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Schritt 18.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 (2 x - \frac{1}{2} \sin (4 x)) + C$

Schritt 18.1.2

Kombiniere $\sin (4 x)$ und $\frac{1}{2}$ .

$4 (2 x - \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Schritt 18.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (2 x) + 4 (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Schritt 18.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x + 4 (- \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Schritt 18.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 18.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sin (4 x)}{2}$ in den Zähler.

$8 x + 4 \frac{- \sin (4 x)}{2} + C$

Schritt 18.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$8 x + 2 (2) \frac{- \sin (4 x)}{2} + C$

Schritt 18.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 x + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (4 x)}{2} + C$

Schritt 18.4.4

Forme den Ausdruck um.

$8 x + 2 (- \sin (4 x)) + C$

Schritt 18.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$8 x - 2 \sin (4 x) + C$