Analysis Beispiele

$f (x) = e^{x^{3} - 3 x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{3} - 3 x$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3} - 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} - 3 x$ .

$e^{x^{3} - 3 x} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 1.2.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3 \cdot 1)$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x^{3} - 3 x}$ und $g (x) = 3 x^{2} - 3$ .

$f'' (x) = e^{x^{3} - 3 x} \frac{d}{d x} (3 x^{2} - 3) + (3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (e^{x^{3} - 3 x})$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = e^{x^{3} - 3 x} (\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (e^{x^{3} - 3 x})$

Schritt 2.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = e^{x^{3} - 3 x} (3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (e^{x^{3} - 3 x})$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = e^{x^{3} - 3 x} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (e^{x^{3} - 3 x})$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = e^{x^{3} - 3 x} (6 x + \frac{d}{d x} (- 3)) + (3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (e^{x^{3} - 3 x})$

Schritt 2.2.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = e^{x^{3} - 3 x} (6 x + 0) + (3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (e^{x^{3} - 3 x})$

Schritt 2.2.6

Addiere $6 x$ und $0$ .

$f'' (x) = e^{x^{3} - 3 x} (6 x) + (3 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (e^{x^{3} - 3 x})$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{3} - 3 x$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3} - 3 x$ .

$f'' (x) = e^{x^{3} - 3 x} (6 x) + (3 x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x))$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x^{3} - 3 x} (6 x) + (3 x^{2} - 3) (e^{u} \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x))$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} - 3 x$ .

$f'' (x) = e^{x^{3} - 3 x} (6 x) + (3 x^{2} - 3) (e^{x^{3} - 3 x} \frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x))$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$f'' (x) = e^{x^{3} - 3 x} (6 x) + (3 x^{2} - 3) e^{x^{3} - 3 x} (\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = e^{x^{3} - 3 x} (6 x) + (3 x^{2} - 3) e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Schritt 2.4.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = e^{x^{3} - 3 x} (6 x) + (3 x^{2} - 3) e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x)$

Schritt 2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = e^{x^{3} - 3 x} (6 x) + (3 x^{2} - 3) e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3 \cdot 1)$

Schritt 2.4.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f'' (x) = e^{x^{3} - 3 x} (6 x) + (3 x^{2} - 3) e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3)$

Schritt 2.5

Potenziere $3 x^{2} - 3$ mit $1$ .

$f'' (x) = e^{x^{3} - 3 x} (6 x) + (3 x^{2} - 3) (3 x^{2} - 3) e^{x^{3} - 3 x}$

Schritt 2.6

Potenziere $3 x^{2} - 3$ mit $1$ .

$f'' (x) = e^{x^{3} - 3 x} (6 x) + (3 x^{2} - 3) (3 x^{2} - 3) e^{x^{3} - 3 x}$

Schritt 2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = e^{x^{3} - 3 x} (6 x) + {(3 x^{2} - 3)}^{1 + 1} e^{x^{3} - 3 x}$

Schritt 2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = e^{x^{3} - 3 x} (6 x) + {(3 x^{2} - 3)}^{2} e^{x^{3} - 3 x}$

Schritt 2.9

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 6 e^{x^{3} - 3 x} x + e^{x^{3} - 3 x} {(3 x^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3) = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{3} - 3 x$ .

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Schritt 4.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3} - 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x]$

Schritt 4.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} - 3 x$ .

$e^{x^{3} - 3 x} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Schritt 4.1.2.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3 \cdot 1)$

Schritt 4.1.2.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f' (x) = e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3)$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3)$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3)$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3) = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3) = 0$

Schritt 5.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x^{3} - 3 x} = 0$

$3 x^{2} - 3 = 0$

Schritt 5.3

Setze $e^{x^{3} - 3 x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Setze $e^{x^{3} - 3 x}$ gleich $0$ .

$e^{x^{3} - 3 x} = 0$

Schritt 5.3.2

Löse $e^{x^{3} - 3 x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x^{3} - 3 x}) = \ln (0)$

Schritt 5.3.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 5.3.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x^{3} - 3 x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 5.4

Setze $3 x^{2} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $3 x^{2} - 3$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 3 = 0$

Schritt 5.4.2

Löse $3 x^{2} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = 3$

Schritt 5.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 3$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 3$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Schritt 5.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Schritt 5.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{3}$

Schritt 5.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.2.3.1

Dividiere $3$ durch $3$ .

$x^{2} = 1$

Schritt 5.4.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 5.4.2.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 5.4.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.4.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 5.4.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 5.4.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 5.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 1$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 1, - 1$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$6 e^{{(1)}^{3} - 3 \cdot 1} (1) + e^{{(1)}^{3} - 3 \cdot 1} {(3 {(1)}^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$6 e^{1 - 3 \cdot 1} \cdot 1 + e^{{(1)}^{3} - 3 \cdot 1} {(3 {(1)}^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 9.1.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$6 e^{1 - 3} \cdot 1 + e^{{(1)}^{3} - 3 \cdot 1} {(3 {(1)}^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 9.1.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$6 e^{- 2} \cdot 1 + e^{{(1)}^{3} - 3 \cdot 1} {(3 {(1)}^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 9.1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{e^{2}} \cdot 1 + e^{{(1)}^{3} - 3 \cdot 1} {(3 {(1)}^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 9.1.4

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{6}{e^{2}} \cdot 1 + e^{{(1)}^{3} - 3 \cdot 1} {(3 {(1)}^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 9.1.5

Mutltipliziere $\frac{6}{e^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{6}{e^{2}} + e^{{(1)}^{3} - 3 \cdot 1} {(3 {(1)}^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 9.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.6.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{6}{e^{2}} + e^{1 - 3 \cdot 1} {(3 {(1)}^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 9.1.6.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{6}{e^{2}} + e^{1 - 3} {(3 {(1)}^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 9.1.7

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{6}{e^{2}} + e^{- 2} {(3 {(1)}^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 9.1.8

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}} {(3 {(1)}^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 9.1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.9.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{6}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}} {(3 \cdot 1 - 3)}^{2}$

Schritt 9.1.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{6}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}} {(3 - 3)}^{2}$

Schritt 9.1.10

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{6}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}} \cdot 0^{2}$

Schritt 9.1.11

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{6}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}} \cdot 0$

Schritt 9.1.12

Mutltipliziere $\frac{1}{e^{2}}$ mit $0$ .

$\frac{6}{e^{2}} + 0$

Schritt 9.2

Addiere $\frac{6}{e^{2}}$ und $0$ .

$\frac{6}{e^{2}}$

Schritt 10

$x = 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = e^{{(1)}^{3} - 3 \cdot 1}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = e^{1 - 3 \cdot 1}$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f (1) = e^{1 - 3}$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f (1) = e^{- 2}$

Schritt 11.2.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e^{2}}$

Schritt 11.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{e^{2}}$ .

$y = \frac{1}{e^{2}}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$6 e^{{(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1} (- 1) + e^{{(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1} {(3 {(- 1)}^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$6 e^{- 1 - 3 \cdot - 1} \cdot - 1 + e^{{(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1} {(3 {(- 1)}^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 13.1.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$6 e^{- 1 + 3} \cdot - 1 + e^{{(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1} {(3 {(- 1)}^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 13.1.2

Addiere $- 1$ und $3$ .

$6 e^{2} \cdot - 1 + e^{{(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1} {(3 {(- 1)}^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 13.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 6 e^{2} + e^{{(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1} {(3 {(- 1)}^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 13.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.4.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 6 e^{2} + e^{- 1 - 3 \cdot - 1} {(3 {(- 1)}^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 13.1.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$- 6 e^{2} + e^{- 1 + 3} {(3 {(- 1)}^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 13.1.5

Addiere $- 1$ und $3$ .

$- 6 e^{2} + e^{2} {(3 {(- 1)}^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 13.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.6.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 6 e^{2} + e^{2} {(3 \cdot 1 - 3)}^{2}$

Schritt 13.1.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 6 e^{2} + e^{2} {(3 - 3)}^{2}$

Schritt 13.1.7

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$- 6 e^{2} + e^{2} \cdot 0^{2}$

Schritt 13.1.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 6 e^{2} + e^{2} \cdot 0$

Schritt 13.1.9

Mutltipliziere $e^{2}$ mit $0$ .

$- 6 e^{2} + 0$

Schritt 13.2

Addiere $- 6 e^{2}$ und $0$ .

$- 6 e^{2}$

Schritt 14

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 1$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = e^{{(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- 1) = e^{- 1 - 3 \cdot - 1}$

Schritt 15.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f (- 1) = e^{- 1 + 3}$

Schritt 15.2.2

Addiere $- 1$ und $3$ .

$f (- 1) = e^{2}$

Schritt 15.2.3

Die endgültige Lösung ist $e^{2}$ .

$y = e^{2}$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = e^{x^{3} - 3 x}$ .

$(1, \frac{1}{e^{2}})$ ist ein lokales Minimum

$(- 1, e^{2})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 17