Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2} - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.1.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.1.2.4

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.1.2.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$x - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.1.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x - \frac{1}{x}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Schritt 2.2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Schritt 2.2.2.6

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Schritt 2.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$1 + x^{- 2} + 0$

Schritt 2.2.2.8

Addiere $x^{- 2}$ und $0$ .

$1 + x^{- 2}$

Schritt 2.2.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 2.2.4

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 1$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 1$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{2}} = - 1$

Schritt 3.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, 1$

Schritt 3.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 3.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ mit $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = - x^{2}$

Schritt 3.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $- x^{2} = 1$ um.

$- x^{2} = 1$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

Schritt 3.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 3.5.4

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 3.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 3.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 3.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 4

Keine Werte gefunden, die die zweite Ableitung gleich $0$ machen.

Keine Wendepunkte