Analysis Beispiele

$2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$

Schritt 1

Schreibe $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ als Funktion.

$f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin^{3} (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \sin (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ und $0$ .

$f' (x) = 6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 \sin^{2} (x) \cos (x)$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin^{2} (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 2.2.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2.5

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2.6

Multipliziere $\sin^{2} (x)$ mit $\sin (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.2.6.1

Bewege $\sin (x)$ .

$6 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2.6.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $\sin^{2} (x)$ .

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Schritt 2.2.2.6.2.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$6 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2.6.3

Addiere $1$ und $2$ .

$6 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2.7

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sin^{3} (x)$ .

$6 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2.8

Schreibe $- 1 \sin^{3} (x)$ als $- \sin^{3} (x)$ um.

$6 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2.9

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2.10

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.2.2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \cos (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.2.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x))$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (- \sin^{3} (x)) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Schritt 2.2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.2.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 6 \sin^{3} (x) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Schritt 2.2.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$- 6 \sin^{3} (x) + 12 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \sin (x)$

Schritt 2.2.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = 12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $12 \cos^{2} (x) \sin (x)$ heraus.

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $- 6 \sin^{3} (x)$ heraus.

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 3 \sin (x) = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $- 3 \sin (x)$ heraus.

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 3.2.4

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ heraus.

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 3.2.5

Faktorisiere $3 \sin (x)$ aus $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1$ heraus.

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 3.4

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.4.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 3.4.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 3.4.2.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.4.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.4.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.4.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.4.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.4.2.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.5

Setze $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ gleich $0$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Ersetze die $4 \cos^{2} (x)$ durch $4 (1 - \sin^{2} (x))$ basierend auf der $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ -Identitätsgleichung.

$4 (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 3.5.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 3.5.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$4 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.5.2.3.1

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Schritt 3.5.2.3.2

Subtrahiere $2 \sin^{2} (x)$ von $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$- 6 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Schritt 3.5.2.4

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 \sin^{2} (x) = - 3$

Schritt 3.5.2.5

Teile jeden Ausdruck in $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ durch $- 6$ .

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

Schritt 3.5.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

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Schritt 3.5.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

Schritt 3.5.2.5.2.1.2

Dividiere $\sin^{2} (x)$ durch $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 6}$

Schritt 3.5.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $- 6$ .

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Schritt 3.5.2.5.3.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3$ heraus.

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 (1)}{- 6}$

Schritt 3.5.2.5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.2.5.3.1.2.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 6$ heraus.

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

Schritt 3.5.2.5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

Schritt 3.5.2.5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Schritt 3.5.2.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.5.2.7

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.5.2.7.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.5.2.7.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.5.2.7.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 3.5.2.7.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.2.7.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 3.5.2.7.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 3.5.2.7.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 3.5.2.7.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.5.2.7.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 3.5.2.7.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.5.2.7.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.5.2.7.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.5.2.7.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.5.2.7.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.7.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.5.2.7.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 3.5.2.7.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.5.2.8

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.2.8.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.5.2.8.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.5.2.8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.5.2.9

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 3.5.2.10

Löse in $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.10.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 3.5.2.10.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.10.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 3.5.2.10.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - \frac{π}{4}$

Schritt 3.5.2.10.4

Vereinfache $π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 3.5.2.10.4.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 3.5.2.10.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.5.2.10.4.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 3.5.2.10.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 3.5.2.10.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.2.10.4.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Schritt 3.5.2.10.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 3.5.2.10.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.5.2.10.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.5.2.10.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.5.2.10.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.5.2.10.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.5.2.10.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.5.2.11

Löse in $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.11.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 3.5.2.11.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.11.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 3.5.2.11.3

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Schritt 3.5.2.11.4

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 3.5.2.11.4.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Schritt 3.5.2.11.4.2

Der resultierende Winkel von $\frac{5 π}{4}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 3.5.2.11.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 3.5.2.11.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.5.2.11.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 3.5.2.11.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 3.5.2.11.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 3.5.2.11.6

Addiere $2 π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 3.5.2.11.6.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4}$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Schritt 3.5.2.11.6.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 3.5.2.11.6.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.5.2.11.6.3.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 3.5.2.11.6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 3.5.2.11.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.2.11.6.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Schritt 3.5.2.11.6.4.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Schritt 3.5.2.11.6.5

Liste die neuen Winkel auf.

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 3.5.2.11.7

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.5.2.12

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.5.2.13

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.7

Führe $2 π n$ und $π + 2 π n$ zu $π n$ zusammen.

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Der Punkt, der durch Einsetzen von in $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ ermittelt werden kann, ist $(,)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(,)$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{π}{4}$ in $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin^{3} (\frac{π}{4}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Schritt 4.2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Schritt 4.2.2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.1.3.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{3}$ als $\sqrt{2^{3}}$ um.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Schritt 4.2.2.1.3.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Schritt 4.2.2.1.3.3

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 4.2.2.1.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Schritt 4.2.2.1.3.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Schritt 4.2.2.1.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Schritt 4.2.2.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{8}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Schritt 4.2.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2 (4)}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Schritt 4.2.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Schritt 4.2.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Schritt 4.2.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 4.2.2.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{2}$ heraus.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (\sqrt{2})}{4} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Schritt 4.2.2.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Schritt 4.2.2.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Schritt 4.2.2.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) + 2$

Schritt 4.2.2.1.7

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2$

Schritt 4.2.2.1.8

Kombiniere $3$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} + 2$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{\sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.2.2.2.2

Addiere $\sqrt{2}$ und $3 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.2.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{2}$ heraus.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Schritt 4.2.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 4.2.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{4}) = 2 + \frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Schritt 4.2.2.2.3.2.4

Dividiere $2 \sqrt{2}$ durch $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 + 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $2 + 2 \sqrt{2}$ .

$2 + 2 \sqrt{2}$

Schritt 4.3

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\frac{π}{4}$ in $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 2$ ermittelt werden kann, ist $(\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

Schritt 4.4

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty,) \cup (, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty,)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$

Schritt 6.2

Die endgültige Lösung ist $12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$ .

$12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$

Schritt 6.3

Bei $- 0.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.88059055$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty,)$

Abfallend im Intervall $(- \infty,)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(, \frac{π}{4})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.39269908$ .

$f'' (0.39269908) = 12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$

Schritt 7.2

Die endgültige Lösung ist $12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$ .

$12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$

Schritt 7.3

Bei $0.39269908$ ist die zweite Ableitung $2.43538245$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(, \frac{π}{4})$ .

Ansteigend im Intervall $(, \frac{π}{4})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{π}{4}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.88539816$ .

$f'' (0.88539816) = 12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$

Schritt 8.2

Die endgültige Lösung ist $12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$ .

$12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$

Schritt 8.3

Bei $0.88539816$ , die zweite Ableitung ist $- 1.38422929$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(\frac{π}{4}, \infty)$

Abfallend im Intervall $(\frac{π}{4}, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$ .

$(,), (\frac{π}{4}, 2 + 2 \sqrt{2})$

Schritt 10