Analysis Beispiele

$f (x) = 7 \sqrt{2} \cos (x) + 7 \sin^{2} (x)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 \sqrt{2} \cos (x) + 7 \sin^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 \sqrt{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{2} \cos (x)]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $7 \sqrt{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 \sqrt{2} \cos (x)$ nach $x$ gleich $7 \sqrt{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$7 \sqrt{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$7 \sqrt{2} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + \frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [7 \sin^{2} (x)]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 \sin^{2} (x)$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 1.3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 7 (2 \sin (x) \cos (x))$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [14 \cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 7 \sqrt{2} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (14 \cos (x) \sin (x))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 7 \sqrt{2} \sin (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 7 \sqrt{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 \sqrt{2} \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 7 \sqrt{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (14 \cos (x) \sin (x))$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + \frac{d}{d x} (14 \cos (x) \sin (x))$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [14 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 \cos (x) \sin (x)$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 2.3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Schritt 2.3.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Schritt 2.3.5

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Schritt 2.3.6

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Schritt 2.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x)))$

Schritt 2.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Schritt 2.3.9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Schritt 2.3.10

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Schritt 2.3.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Schritt 2.3.12

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 \cos^{2} (x) + 14 (- \sin^{2} (x))$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $14$ .

$f'' (x) = - 7 \sqrt{2} \cos (x) + 14 \cos^{2} (x) - 14 \sin^{2} (x)$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x) = 0$

Schritt 4

Faktorisiere $7 \sin (x)$ aus $- 7 \sqrt{2} \sin (x) + 14 \cos (x) \sin (x)$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $7 \sin (x)$ aus $- 7 \sqrt{2} \sin (x)$ heraus.

$7 \sin (x) (- \sqrt{2}) + 14 \cos (x) \sin (x) = 0$

Schritt 4.2

Faktorisiere $7 \sin (x)$ aus $14 \cos (x) \sin (x)$ heraus.

$7 \sin (x) (- \sqrt{2}) + 7 \sin (x) (2 \cos (x)) = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere $7 \sin (x)$ aus $7 \sin (x) (- \sqrt{2}) + 7 \sin (x) (2 \cos (x))$ heraus.

$7 \sin (x) (- \sqrt{2} + 2 \cos (x)) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- \sqrt{2} + 2 \cos (x) = 0$

Schritt 6

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $\sin (x)$ gleich $0$ .

$\sin (x) = 0$

Schritt 6.2

Löse $\sin (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (0)$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6.2.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$

Schritt 6.2.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$

Schritt 6.2.5

Die Lösung der Gleichung $x = 0$ .

$x = 0, π$

Schritt 7

Setze $- \sqrt{2} + 2 \cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $- \sqrt{2} + 2 \cos (x)$ gleich $0$ .

$- \sqrt{2} + 2 \cos (x) = 0$

Schritt 7.2

Löse $- \sqrt{2} + 2 \cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Addiere $\sqrt{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$

Schritt 7.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = \sqrt{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) = \sqrt{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 7.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.6

Vereinfache $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 7.2.6.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.6.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 7.2.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.6.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Schritt 7.2.6.3.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 7.2.7

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $7 \sin (x) (- \sqrt{2} + 2 \cos (x)) = 0$ wahr machen.

$x = 0, π, \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 7 \sqrt{2} \cos (0) + 14 \cos^{2} (0) - 14 \sin^{2} (0)$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- 7 \sqrt{2} \cdot 1 + 14 \cos^{2} (0) - 14 \sin^{2} (0)$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$- 7 \sqrt{2} + 14 \cos^{2} (0) - 14 \sin^{2} (0)$

Schritt 10.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- 7 \sqrt{2} + 14 \cdot 1^{2} - 14 \sin^{2} (0)$

Schritt 10.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 7 \sqrt{2} + 14 \cdot 1 - 14 \sin^{2} (0)$

Schritt 10.1.5

Mutltipliziere $14$ mit $1$ .

$- 7 \sqrt{2} + 14 - 14 \sin^{2} (0)$

Schritt 10.1.6

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$- 7 \sqrt{2} + 14 - 14 \cdot 0^{2}$

Schritt 10.1.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 7 \sqrt{2} + 14 - 14 \cdot 0$

Schritt 10.1.8

Mutltipliziere $- 14$ mit $0$ .

$- 7 \sqrt{2} + 14 + 0$

Schritt 10.2

Addiere $- 7 \sqrt{2}$ und $0$ .

$14 - 7 \sqrt{2}$

Schritt 11

$x = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 7 \sqrt{2} \cos (0) + 7 \sin^{2} (0)$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (0) = 7 \sqrt{2} \cdot 1 + 7 \sin^{2} (0)$

Schritt 12.2.1.2

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$f (0) = 7 \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (0)$

Schritt 12.2.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f (0) = 7 \sqrt{2} + 7 \cdot 0^{2}$

Schritt 12.2.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 7 \sqrt{2} + 7 \cdot 0$

Schritt 12.2.1.5

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$f (0) = 7 \sqrt{2} + 0$

Schritt 12.2.2

Addiere $7 \sqrt{2}$ und $0$ .

$f (0) = 7 \sqrt{2}$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $7 \sqrt{2}$ .

$y = 7 \sqrt{2}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = π$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 7 \sqrt{2} \cos (π) + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- 7 \sqrt{2} (- \cos (0)) + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

Schritt 14.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- 7 \sqrt{2} (- 1 \cdot 1) + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

Schritt 14.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 7 \sqrt{2} \cdot - 1 + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

Schritt 14.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$7 \sqrt{2} + 14 \cos^{2} (π) - 14 \sin^{2} (π)$

Schritt 14.1.5

$7 \sqrt{2} + 14 {(- \cos (0))}^{2} - 14 \sin^{2} (π)$

Schritt 14.1.6

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$7 \sqrt{2} + 14 {(- 1 \cdot 1)}^{2} - 14 \sin^{2} (π)$

Schritt 14.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$7 \sqrt{2} + 14 {(- 1)}^{2} - 14 \sin^{2} (π)$

Schritt 14.1.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$7 \sqrt{2} + 14 \cdot 1 - 14 \sin^{2} (π)$

Schritt 14.1.9

Mutltipliziere $14$ mit $1$ .

$7 \sqrt{2} + 14 - 14 \sin^{2} (π)$

Schritt 14.1.10

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$7 \sqrt{2} + 14 - 14 \sin^{2} (0)$

Schritt 14.1.11

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$7 \sqrt{2} + 14 - 14 \cdot 0^{2}$

Schritt 14.1.12

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$7 \sqrt{2} + 14 - 14 \cdot 0$

Schritt 14.1.13

Mutltipliziere $- 14$ mit $0$ .

$7 \sqrt{2} + 14 + 0$

Schritt 14.2

Addiere $7 \sqrt{2}$ und $0$ .

$14 + 7 \sqrt{2}$

Schritt 15

$x = π$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = π$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = π$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $π$ .

$f (π) = 7 \sqrt{2} \cos (π) + 7 \sin^{2} (π)$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.1.1

$f (π) = 7 \sqrt{2} (- \cos (0)) + 7 \sin^{2} (π)$

Schritt 16.2.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (π) = 7 \sqrt{2} (- 1 \cdot 1) + 7 \sin^{2} (π)$

Schritt 16.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (π) = 7 \sqrt{2} \cdot - 1 + 7 \sin^{2} (π)$

Schritt 16.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (π)$

Schritt 16.2.1.5

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (0)$

Schritt 16.2.1.6

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 7 \cdot 0^{2}$

Schritt 16.2.1.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 7 \cdot 0$

Schritt 16.2.1.8

Mutltipliziere $7$ mit $0$ .

$f (π) = - 7 \sqrt{2} + 0$

Schritt 16.2.2

Addiere $- 7 \sqrt{2}$ und $0$ .

$f (π) = - 7 \sqrt{2}$

Schritt 16.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 7 \sqrt{2}$ .

$y = - 7 \sqrt{2}$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 7 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 18.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 18.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.2

Multipliziere $- 7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 18.1.2.1

Kombiniere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $- 7$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 7}{2} \sqrt{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.2.2

Kombiniere $\frac{\sqrt{2} \cdot - 7}{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 7 \sqrt{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{- 7 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.2.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{- 7 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 7 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{- 7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 7 \cdot 2^{1}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{- 7 \cdot 2}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$\frac{- 14}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.5

Dividiere $- 14$ durch $2$ .

$- 7 + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.6

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 + 14 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.7

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$- 7 + 14 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.8

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 7 + 14 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 7 + 14 \frac{2^{1}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.8.5

Berechne den Exponenten.

$- 7 + 14 \frac{2}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 7 + 14 (\frac{2}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.10.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$- 7 + 2 (7) \frac{2}{4} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.10.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 7 + 2 \cdot 7 \frac{2}{2 \cdot 2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 7 + 2 \cdot 7 \frac{2}{2 \cdot 2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.10.4

Forme den Ausdruck um.

$- 7 + 7 (\frac{2}{2}) - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.11

Kombiniere $7$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 7 + \frac{7 \cdot 2}{2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.12

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$- 7 + \frac{14}{2} - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.13

Dividiere $14$ durch $2$ .

$- 7 + 7 - 14 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 18.1.14

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 + 7 - 14 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Schritt 18.1.15

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$- 7 + 7 - 14 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 18.1.16

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.16.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 7 + 7 - 14 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 18.1.16.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Schritt 18.1.16.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 18.1.16.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.16.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 18.1.16.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

Schritt 18.1.16.5

Berechne den Exponenten.

$- 7 + 7 - 14 \frac{2}{2^{2}}$

Schritt 18.1.17

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 7 + 7 - 14 (\frac{2}{4})$

Schritt 18.1.18

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.18.1

Faktorisiere $2$ aus $- 14$ heraus.

$- 7 + 7 + 2 (- 7) \frac{2}{4}$

Schritt 18.1.18.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 7 + 7 + 2 \cdot - 7 \frac{2}{2 \cdot 2}$

Schritt 18.1.18.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 7 + 7 + 2 \cdot - 7 \frac{2}{2 \cdot 2}$

Schritt 18.1.18.4

Forme den Ausdruck um.

$- 7 + 7 - 7 (\frac{2}{2})$

Schritt 18.1.19

Kombiniere $- 7$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 7 + 7 + \frac{- 7 \cdot 2}{2}$

Schritt 18.1.20

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$- 7 + 7 + \frac{- 14}{2}$

Schritt 18.1.21

Dividiere $- 14$ durch $2$ .

$- 7 + 7 - 7$

Schritt 18.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.1

Addiere $- 7$ und $7$ .

$0 - 7$

Schritt 18.2.2

Subtrahiere $7$ von $0$ .

$- 7$

Schritt 19

$x = \frac{π}{4}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{4}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 20

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{4}$ .

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Schritt 20.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 20.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 20.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 20.2.1.2

Multipliziere $7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1.2.1

Kombiniere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $7$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 7}{2} \cdot \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 20.2.1.2.2

Kombiniere $\frac{\sqrt{2} \cdot 7}{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot (7 \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 20.2.1.2.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 20.2.1.2.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 20.2.1.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 20.2.1.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 20.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 20.2.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 20.2.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 20.2.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 20.2.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 20.2.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 20.2.1.4

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{14}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 20.2.1.5

Dividiere $14$ durch $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 \sin^{2} (\frac{π}{4})$

Schritt 20.2.1.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Schritt 20.2.1.7

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 20.2.1.8

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 20.2.1.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Schritt 20.2.1.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Schritt 20.2.1.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Schritt 20.2.1.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{2^{2}})$

Schritt 20.2.1.8.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{2^{2}})$

Schritt 20.2.1.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{4})$

Schritt 20.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1.10.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 (1)}{4})$

Schritt 20.2.1.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

Schritt 20.2.1.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

Schritt 20.2.1.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{4}) = 7 + 7 (\frac{1}{2})$

Schritt 20.2.1.11

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 + \frac{7}{2}$

Schritt 20.2.2

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 7 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}$

Schritt 20.2.3

Kombiniere $7$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}$

Schritt 20.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{7 \cdot 2 + 7}{2}$

Schritt 20.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.5.1

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{14 + 7}{2}$

Schritt 20.2.5.2

Addiere $14$ und $7$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{21}{2}$

Schritt 20.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{21}{2}$ .

$y = \frac{21}{2}$

Schritt 21

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{7 π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 7 \sqrt{2} \cos (\frac{7 π}{4}) + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- 7 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.3

Multipliziere $- 7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1.3.1

Kombiniere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $- 7$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 7}{2} \sqrt{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.3.2

Kombiniere $\frac{\sqrt{2} \cdot - 7}{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot - 7 \sqrt{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{- 7 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.3.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{- 7 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 7 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{- 7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 7 \cdot 2^{1}}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{- 7 \cdot 2}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.5

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$\frac{- 14}{2} + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.6

Dividiere $- 14$ durch $2$ .

$- 7 + 14 \cos^{2} (\frac{7 π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.7

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- 7 + 14 \cos^{2} (\frac{π}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.8

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 + 14 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.9

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$- 7 + 14 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.10

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 7 + 14 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.10.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 7 + 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 7 + 14 \frac{2^{1}}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.10.5

Berechne den Exponenten.

$- 7 + 14 \frac{2}{2^{2}} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.11

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 7 + 14 (\frac{2}{4}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1.12.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$- 7 + 2 (7) \frac{2}{4} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.12.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 7 + 2 \cdot 7 \frac{2}{2 \cdot 2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 7 + 2 \cdot 7 \frac{2}{2 \cdot 2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.12.4

Forme den Ausdruck um.

$- 7 + 7 (\frac{2}{2}) - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.13

Kombiniere $7$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 7 + \frac{7 \cdot 2}{2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.14

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$- 7 + \frac{14}{2} - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.15

Dividiere $14$ durch $2$ .

$- 7 + 7 - 14 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 22.1.16

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- 7 + 7 - 14 {(- \sin (\frac{π}{4}))}^{2}$

Schritt 22.1.17

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 7 + 7 - 14 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Schritt 22.1.18

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 22.1.18.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$- 7 + 7 - 14 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 22.1.18.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$- 7 + 7 - 14 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 22.1.19

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 7 + 7 - 14 (1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 22.1.20

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$- 7 + 7 - 14 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 22.1.21

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 22.1.21.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- 7 + 7 - 14 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Schritt 22.1.21.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Schritt 22.1.21.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 22.1.21.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 22.1.21.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Schritt 22.1.21.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 7 + 7 - 14 \frac{2^{1}}{2^{2}}$

Schritt 22.1.21.5

Berechne den Exponenten.

$- 7 + 7 - 14 \frac{2}{2^{2}}$

Schritt 22.1.22

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 7 + 7 - 14 (\frac{2}{4})$

Schritt 22.1.23

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 22.1.23.1

Faktorisiere $2$ aus $- 14$ heraus.

$- 7 + 7 + 2 (- 7) \frac{2}{4}$

Schritt 22.1.23.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 7 + 7 + 2 \cdot - 7 \frac{2}{2 \cdot 2}$

Schritt 22.1.23.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 7 + 7 + 2 \cdot - 7 \frac{2}{2 \cdot 2}$

Schritt 22.1.23.4

Forme den Ausdruck um.

$- 7 + 7 - 7 (\frac{2}{2})$

Schritt 22.1.24

Kombiniere $- 7$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 7 + 7 + \frac{- 7 \cdot 2}{2}$

Schritt 22.1.25

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$- 7 + 7 + \frac{- 14}{2}$

Schritt 22.1.26

Dividiere $- 14$ durch $2$ .

$- 7 + 7 - 7$

Schritt 22.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 22.2.1

Addiere $- 7$ und $7$ .

$0 - 7$

Schritt 22.2.2

Subtrahiere $7$ von $0$ .

$- 7$

Schritt 23

$x = \frac{7 π}{4}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{7 π}{4}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 24

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{7 π}{4}$ .

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Schritt 24.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{7 π}{4}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 \sqrt{2} \cos (\frac{7 π}{4}) + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 24.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 24.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 24.2.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 24.2.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2}) + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 24.2.1.3

Multipliziere $7 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 24.2.1.3.1

Kombiniere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $7$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 7}{2} \cdot \sqrt{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 24.2.1.3.2

Kombiniere $\frac{\sqrt{2} \cdot 7}{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} \cdot (7 \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 24.2.1.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 24.2.1.3.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 24.2.1.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 24.2.1.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 {\sqrt{2}}^{2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 24.2.1.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 24.2.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 24.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 24.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 24.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 24.2.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 24.2.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 24.2.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 24.2.1.5

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{14}{2} + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 24.2.1.6

Dividiere $14$ durch $2$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 \sin^{2} (\frac{7 π}{4})$

Schritt 24.2.1.7

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 {(- \sin (\frac{π}{4}))}^{2}$

Schritt 24.2.1.8

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Schritt 24.2.1.9

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 24.2.1.9.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

Schritt 24.2.1.9.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{2}}{2}$ an.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

Schritt 24.2.1.10

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (1 (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))$

Schritt 24.2.1.11

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 24.2.1.12

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 24.2.1.12.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 24.2.1.12.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Schritt 24.2.1.12.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Schritt 24.2.1.12.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 24.2.1.12.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Schritt 24.2.1.12.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{2^{2}})$

Schritt 24.2.1.12.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{2^{2}})$

Schritt 24.2.1.13

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2}{4})$

Schritt 24.2.1.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 24.2.1.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 (1)}{4})$

Schritt 24.2.1.14.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 24.2.1.14.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

Schritt 24.2.1.14.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2})$

Schritt 24.2.1.14.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + 7 (\frac{1}{2})$

Schritt 24.2.1.15

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 + \frac{7}{2}$

Schritt 24.2.2

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = 7 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}$

Schritt 24.2.3

Kombiniere $7$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}$

Schritt 24.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{7 \cdot 2 + 7}{2}$

Schritt 24.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 24.2.5.1

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{14 + 7}{2}$

Schritt 24.2.5.2

Addiere $14$ und $7$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = \frac{21}{2}$

Schritt 24.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{21}{2}$ .

$y = \frac{21}{2}$

Schritt 25

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 7 \sqrt{2} \cos (x) + 7 \sin^{2} (x)$ .

$(0, 7 \sqrt{2})$ ist ein lokales Minimum

$(π, - 7 \sqrt{2})$ ist ein lokales Minimum

$(\frac{π}{4}, \frac{21}{2})$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{7 π}{4}, \frac{21}{2})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 26