Analysis Beispiele

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $64$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $64 x^{2}$ nach $x$ gleich $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$64 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$128 x + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $128$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{128}{x}$ nach $x$ gleich $128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$128 x + 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$128 x + 128 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$128 x + 128 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $128$ .

$128 x - 128 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 1.1.1.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$128 x - 128 x^{- 2} + 0$

Schritt 1.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 x - 128 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Schritt 1.1.1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.1.5.2.1

Kombiniere $- 128$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$128 x + \frac{- 128}{x^{2}} + 0$

Schritt 1.1.1.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$128 x - \frac{128}{x^{2}} + 0$

Schritt 1.1.1.5.2.3

Addiere $128 x - \frac{128}{x^{2}}$ und $0$ .

$f' (x) = 128 x - \frac{128}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $128 x - \frac{128}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [128 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

Schritt 1.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [128 x]$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Da $128$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $128 x$ nach $x$ gleich $128 \frac{d}{d x} [x]$ .

$128 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$128 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

Schritt 1.1.2.2.3

Mutltipliziere $128$ mit $1$ .

$128 + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$

Schritt 1.1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Da $- 128$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{128}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$128 - 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 1.1.2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$128 - 128 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$128 - 128 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$128 - 128 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$128 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$128 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 1.1.2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.1.2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$128 - 128 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 1.1.2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$128 - 128 (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 1.1.2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$128 - 128 (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 1.1.2.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$128 - 128 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Schritt 1.1.2.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$128 - 128 (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 1.1.2.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$128 - 128 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 1.1.2.3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 128$ .

$128 + 256 x^{- 3}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 + 256 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Kombiniere $256$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$128 + \frac{256}{x^{3}}$

Schritt 1.1.2.4.3

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{256}{x^{3}} + 128$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{256}{x^{3}} + 128$ .

$\frac{256}{x^{3}} + 128$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{256}{x^{3}} + 128 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{256}{x^{3}} + 128 = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $128$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{256}{x^{3}} = - 128$

Schritt 1.2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{3}, 1$

Schritt 1.2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{3}$

Schritt 1.2.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{256}{x^{3}} = - 128$ mit $x^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.2.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{256}{x^{3}} = - 128$ mit $x^{3}$ .

$\frac{256}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{256}{x^{3}} x^{3} = - 128 x^{3}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$256 = - 128 x^{3}$

Schritt 1.2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 128 x^{3} = 256$ um.

$- 128 x^{3} = 256$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $256$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 128 x^{3} - 256 = 0$

Schritt 1.2.5.3

Faktorisiere $- 128$ aus $- 128 x^{3} - 256$ heraus.

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Schritt 1.2.5.3.1

Faktorisiere $- 128$ aus $- 128 x^{3}$ heraus.

$- 128 x^{3} - 256 = 0$

Schritt 1.2.5.3.2

Faktorisiere $- 128$ aus $- 256$ heraus.

$- 128 x^{3} - 128 \cdot 2 = 0$

Schritt 1.2.5.3.3

Faktorisiere $- 128$ aus $- 128 (x^{3}) - 128 (2)$ heraus.

$- 128 (x^{3} + 2) = 0$

Schritt 1.2.5.4

Teile jeden Ausdruck in $- 128 (x^{3} + 2) = 0$ durch $- 128$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 128 (x^{3} + 2) = 0$ durch $- 128$ .

$\frac{- 128 (x^{3} + 2)}{- 128} = \frac{0}{- 128}$

Schritt 1.2.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 128$ .

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Schritt 1.2.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 128 (x^{3} + 2)}{- 128} = \frac{0}{- 128}$

Schritt 1.2.5.4.2.1.2

Dividiere $x^{3} + 2$ durch $1$ .

$x^{3} + 2 = \frac{0}{- 128}$

Schritt 1.2.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 128$ .

$x^{3} + 2 = 0$

Schritt 1.2.5.5

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = - 2$

Schritt 1.2.5.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{- 2}$

Schritt 1.2.5.7

Vereinfache $\sqrt[3]{- 2}$ .

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Schritt 1.2.5.7.1

Schreibe $- 2$ als ${(- 1)}^{3} \cdot 2$ um.

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Schritt 1.2.5.7.1.1

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \sqrt[3]{- 1 (2)}$

Schritt 1.2.5.7.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = - 1 \sqrt[3]{2}$

Schritt 1.2.5.7.3

Schreibe $- 1 \sqrt[3]{2}$ als $- \sqrt[3]{2}$ um.

$x = - \sqrt[3]{2}$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = 64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$ .

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Schritt 2.1

Setze den Nenner in $\frac{128}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 2.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \sqrt[3]{2}) \cup (- \sqrt[3]{2}, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{{(- 4)}^{3}} + 128$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{- 64} + 128$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $256$ durch $- 64$ .

$f'' (- 4) = - 4 + 128$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 4$ und $128$ .

$f'' (- 4) = 124$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $124$ .

$124$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ konvex, weil $f'' (- 4)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{256}{{(- 1)}^{3}} + 128$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{256}{- 1} + 128$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $256$ durch $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 256 + 128$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 256$ und $128$ .

$f'' (- 1) = - 128$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 128$ .

$- 128$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ konkav, weil $f'' (- 1)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = \frac{256}{{(2)}^{3}} + 128$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (2) = \frac{256}{8} + 128$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $256$ durch $8$ .

$f'' (2) = 32 + 128$

Schritt 6.2.2

Addiere $32$ und $128$ .

$f'' (2) = 160$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $160$ .

$160$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(0, \infty)$ konvex, weil $f'' (2)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \infty, - \sqrt[3]{2})$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(- \sqrt[3]{2}, 0)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(0, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8