Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} \ln (3 x) + 6$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} \ln (3 x) + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (3 x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (3 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.2.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.2.7

Kombiniere $\frac{1}{3 x}$ und $3$ .

$x^{2} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.2.9

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.10.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.10.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.2.10.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.2.10.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.2.10.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{1} + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.2.10.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x + \ln (3 x) (2 x) + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 1.1.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x + \ln (3 x) (2 x) + 0$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Addiere $x + \ln (3 x) (2 x)$ und $0$ .

$x + \ln (3 x) (2 x)$

Schritt 1.1.4.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 2 x \ln (3 x) + x$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x \ln (3 x) + x$ .

$2 x \ln (3 x) + x$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x \ln (3 x) + x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 x \ln (3 x) + x = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x \ln (3 x) = - x$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x \ln (3 x) = - x$ durch $2 x$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \ln (3 x) = - x$ durch $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (3 x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x \ln (3 x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Schritt 2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \ln (3 x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (3 x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Schritt 2.3.2.2.2

Dividiere $\ln (3 x)$ durch $1$ .

$\ln (3 x) = \frac{- x}{2 x}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (3 x) = \frac{- x}{2 x}$

Schritt 2.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (3 x) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (3 x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.4

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (3 x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 2.5

Schreibe $\ln (3 x) = - \frac{1}{2}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = 3 x$

Schritt 2.6

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Schreibe die Gleichung als $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ um.

$3 x = e^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 2.6.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = e^{- \frac{1}{2}}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

Schritt 2.6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

Schritt 2.6.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{e^{- \frac{1}{2}}}{3}$

Schritt 2.6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.2.3.1

Bringe $e^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze das Argument in $\ln (3 x)$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 x \leq 0$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x \leq 0$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x \leq 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} \leq \frac{0}{3}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{0}{3}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x \leq 0$

Schritt 3.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 4

Werte $x^{2} \ln (3 x) + 6$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ .

${(\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ an.

$\frac{1^{2}}{{(3 e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Schritt 4.1.2.1.2

Wende die Produktregel auf $3 e^{\frac{1}{2}}$ an.

$\frac{1^{2}}{3^{2} {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Schritt 4.1.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{3^{2} {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{9 {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Schritt 4.1.2.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Schritt 4.1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Schritt 4.1.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{9 e^{1}} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Schritt 4.1.2.3.3

Vereinfache.

$\frac{1}{9 e} \ln (3 (\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}})) + 6$

Schritt 4.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{9 e} \ln (3 \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}) + 6$

Schritt 4.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{9 e} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 6$

Schritt 4.1.2.5

Bringe $e^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{9 e} \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 6$

Schritt 4.1.2.6

Zerlege $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ durch Herausziehen von $- \frac{1}{2}$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 6$

Schritt 4.1.2.7

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 6$

Schritt 4.1.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2}) + 6$

Schritt 4.1.2.9

Multipliziere $\frac{1}{9 e} (- \frac{1}{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{9 e}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{9 e \cdot 2} + 6$

Schritt 4.1.2.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$- \frac{1}{18 e} + 6$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{2} \ln (3 (0)) + 6$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 \ln (3 (0)) + 6$

Schritt 4.2.2.1.2

Schreibe $\ln (3 (0))$ als $\ln (3) + \ln (0)$ um.

$0 (\ln (3) + \ln (0)) + 6$

Schritt 4.2.2.1.3

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert

$0 (\ln (3) + \ln (0)) + 6$

Schritt 4.2.2.2

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{18 e} + 6)$

Schritt 5