Analysis Beispiele

$q = \tan (\frac{t}{\sqrt{t + 8}})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ ist $f' (g (q)) g' (q)$ , mit $f (q) = \tan (q)$ und $g (q) = \frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d q} [\frac{t}{\sqrt{t + 8}}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d q} [\frac{t}{\sqrt{t + 8}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t}{\sqrt{t + 8}}]$

Schritt 2

Mutltipliziere $\frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ mit $\frac{\sqrt{t + 8}}{\sqrt{t + 8}}$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t}{\sqrt{t + 8}} \cdot \frac{\sqrt{t + 8}}{\sqrt{t + 8}}]$

Schritt 3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{t}{\sqrt{t + 8}}$ mit $\frac{\sqrt{t + 8}}{\sqrt{t + 8}}$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{\sqrt{t + 8} \sqrt{t + 8}}]$

Schritt 3.2

Potenziere $\sqrt{t + 8}$ mit $1$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{\sqrt{t + 8}}^{1} \sqrt{t + 8}}]$

Schritt 3.3

Potenziere $\sqrt{t + 8}$ mit $1$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{\sqrt{t + 8}}^{1} {\sqrt{t + 8}}^{1}}]$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{\sqrt{t + 8}}^{1 + 1}}]$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{\sqrt{t + 8}}^{2}}]$

Schritt 3.6

Schreibe ${\sqrt{t + 8}}^{2}$ als $t + 8$ um.

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Schritt 3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t + 8}$ als ${(t + 8)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{({(t + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}]$

Schritt 3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{(t + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}]$

Schritt 3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{(t + 8)}^{\frac{2}{2}}}]$

Schritt 3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{(t + 8)}^{\frac{2}{2}}}]$

Schritt 3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{{(t + 8)}^{1}}]$

Schritt 3.6.5

Vereinfache.

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \frac{d}{d q} [\frac{t \sqrt{t + 8}}{t + 8}]$

Schritt 4

Da $\frac{t \sqrt{t + 8}}{t + 8}$ konstant bezüglich $q$ ist, ist die Ableitung von $\frac{t \sqrt{t + 8}}{t + 8}$ bezüglich $q$ gleich $0$ .

$\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}}) \cdot 0$

Schritt 5

Mutltipliziere $\sec^{2} (\frac{t}{\sqrt{t + 8}})$ mit $0$ .

$0$