Analysis Beispiele

$\cos^{-1} (\sin (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos^{-1} (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\cos^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\cos^{-1} (u)$ nach $u$ ist $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}} \cos (x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (x)}}$

Schritt 3.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$- \frac{\cos (x)}{\sqrt{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$