Analysis Beispiele

$\frac{x^{2} + 25}{x}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{2} + 25}{x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{2} + 25}{x}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} + 25$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25] - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.2.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 2.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25)}{x^{2}}$

Schritt 2.1.9

Vereinfache.

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Schritt 2.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Schritt 2.1.9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 25}{x^{2}}$

Schritt 2.1.9.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 25}{x^{2}}$

Schritt 2.1.9.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.9.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

Schritt 2.1.9.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$f' (x) = \frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$(x + 5) (x - 5) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 3.3.2

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.2.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 3.3.3

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 3.3.3.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 3.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 5) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 5, 5$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $- 5, 5$ .

$- 5, 5$

Schritt 5

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 5.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 6

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 5)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f' (- 6) = \frac{((- 6) + 5) ((- 6) - 5)}{{(- 6)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Addiere $- 6$ und $5$ .

$f' (- 6) = \frac{- 1 (- 6 - 5)}{{(- 6)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Subtrahiere $5$ von $- 6$ .

$f' (- 6) = \frac{- 1 \cdot - 11}{{(- 6)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f' (- 6) = \frac{- 1 \cdot - 11}{36}$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 11$ .

$f' (- 6) = \frac{11}{36}$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{11}{36}$ .

$\frac{11}{36}$

Schritt 7.3

Bei $x = - 6$ ist die Ableitung $\frac{11}{36}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, - 5)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - 5)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 5, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{5}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{((- \frac{5}{2}) + 5) ((- \frac{5}{2}) - 5)}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.1

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{(- \frac{5}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}) (- \frac{5}{2} - 5)}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{(- \frac{5}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}) (- \frac{5}{2} - 5)}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{- 5 + 5 \cdot 2}{2} \cdot (- \frac{5}{2} - 5)}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{- 5 + 10}{2} \cdot (- \frac{5}{2} - 5)}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.4.2

Addiere $- 5$ und $10$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (- \frac{5}{2} - 5)}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.5

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (- \frac{5}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.6

Kombiniere $- 5$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (- \frac{5}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{- 5 - 5 \cdot 2}{2}}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.8.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{- 5 - 10}{2}}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.8.2

Subtrahiere $10$ von $- 5$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot \frac{- 15}{2}}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{\frac{5}{2} \cdot (- 1 (\frac{15}{2}))}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.10

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 8.2.1.10.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- (\frac{5}{2} \cdot \frac{15}{2})}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.10.2

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{15}{2}$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- \frac{5 \cdot 15}{2 \cdot 2}}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.10.3

Mutltipliziere $5$ mit $15$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- \frac{75}{2 \cdot 2}}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.1.10.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{{(- \frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{2}$ an.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{1 {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{1 (\frac{5^{2}}{2^{2}})}$

Schritt 8.2.2.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{1 (\frac{25}{2^{2}})}$

Schritt 8.2.2.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{1 (\frac{25}{4})}$

Schritt 8.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{25}{4}$ mit $1$ .

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{\frac{25}{4}}$

Schritt 8.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (- \frac{5}{2}) = - \frac{75}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Schritt 8.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 8.2.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{75}{4}$ in den Zähler.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 75}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Schritt 8.2.4.2

Faktorisiere $25$ aus $- 75$ heraus.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{25 (- 3)}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Schritt 8.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{25 \cdot - 3}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Schritt 8.2.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Schritt 8.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- \frac{5}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Schritt 8.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (- \frac{5}{2}) = - 3$

Schritt 8.2.6

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 8.3

Bei $x = - \frac{5}{2}$ ist die Ableitung $- 3$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- 5, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- 5, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 5)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{((\frac{5}{2}) + 5) ((\frac{5}{2}) - 5)}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1.1

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{(\frac{5}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}) (\frac{5}{2} - 5)}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{(\frac{5}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}) (\frac{5}{2} - 5)}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 9.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{5 + 5 \cdot 2}{2} \cdot (\frac{5}{2} - 5)}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 9.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{5 + 10}{2} \cdot (\frac{5}{2} - 5)}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 9.2.1.4.2

Addiere $5$ und $10$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot (\frac{5}{2} - 5)}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 9.2.1.5

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot (\frac{5}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 9.2.1.6

Kombiniere $- 5$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot (\frac{5}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 9.2.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5 - 5 \cdot 2}{2}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 9.2.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1.8.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{5 - 10}{2}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 9.2.1.8.2

Subtrahiere $10$ von $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot \frac{- 5}{2}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 9.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{\frac{15}{2} \cdot (- 1 (\frac{5}{2}))}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 9.2.1.10

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 9.2.1.10.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- (\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2})}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 9.2.1.10.2

Mutltipliziere $\frac{15}{2}$ mit $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 5}{2 \cdot 2}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 9.2.1.10.3

Mutltipliziere $15$ mit $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- \frac{75}{2 \cdot 2}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 9.2.1.10.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{2}$ an.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{\frac{5^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 9.2.2.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{\frac{25}{2^{2}}}$

Schritt 9.2.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- \frac{75}{4}}{\frac{25}{4}}$

Schritt 9.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{75}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Schritt 9.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 9.2.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{75}{4}$ in den Zähler.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- 75}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Schritt 9.2.4.2

Faktorisiere $25$ aus $- 75$ heraus.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{25 (- 3)}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Schritt 9.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{25 \cdot - 3}{4} \cdot \frac{4}{25}$

Schritt 9.2.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Schritt 9.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 9.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- 3}{4} \cdot 4$

Schritt 9.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{5}{2}) = - 3$

Schritt 9.2.6

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 9.3

Bei $x = \frac{5}{2}$ ist die Ableitung $- 3$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 5)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 5)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 10

Setze einen Wert aus dem Intervall $(5, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f' (6) = \frac{((6) + 5) ((6) - 5)}{{(6)}^{2}}$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.2.1.1

Addiere $6$ und $5$ .

$f' (6) = \frac{11 (6 - 5)}{6^{2}}$

Schritt 10.2.1.2

Subtrahiere $5$ von $6$ .

$f' (6) = \frac{11 \cdot 1}{6^{2}}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.2.2.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$f' (6) = \frac{11 \cdot 1}{36}$

Schritt 10.2.2.2

Mutltipliziere $11$ mit $1$ .

$f' (6) = \frac{11}{36}$

Schritt 10.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{11}{36}$ .

$\frac{11}{36}$

Schritt 10.3

Bei $x = 6$ ist die Ableitung $\frac{11}{36}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(5, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(5, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 11

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, - 5), (5, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- 5, 0), (0, 5)$

Schritt 12