Analysis Beispiele

$2.34 x - \frac{x^{2}}{28000} - 3100$

Schritt 1

Schreibe $2.34 x - \frac{x^{2}}{28000} - 3100$ als Funktion.

$f (x) = 2.34 x - \frac{x^{2}}{28000} - 3100$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2.34 x - \frac{x^{2}}{28000} - 3100$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2.34 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{28000}] + \frac{d}{d x} [- 3100]$ .

$\frac{d}{d x} [2.34 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{28000}] + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2.34 x]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $2.34$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2.34 x$ nach $x$ gleich $2.34 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2.34 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{28000}] + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2.34 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{28000}] + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $2.34$ mit $1$ .

$2.34 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{28000}] + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{28000}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- \frac{1}{28000}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{28000}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{28000} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2.34 - \frac{1}{28000} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2.34 - \frac{1}{28000} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2.34 - 2 (\frac{1}{28000}) x + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Schritt 2.1.3.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{28000}$ .

$2.34 + \frac{- 2}{28000} x + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Schritt 2.1.3.5

Kombiniere $\frac{- 2}{28000}$ und $x$ .

$2.34 + \frac{- 2 x}{28000} + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Schritt 2.1.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $28000$ .

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Schritt 2.1.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$2.34 + \frac{2 (- x)}{28000} + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Schritt 2.1.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $28000$ heraus.

$2.34 + \frac{2 (- x)}{2 (14000)} + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Schritt 2.1.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2.34 + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 14000} + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Schritt 2.1.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2.34 + \frac{- x}{14000} + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Schritt 2.1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2.34 - \frac{x}{14000} + \frac{d}{d x} [- 3100]$

Schritt 2.1.4

Da $- 3100$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3100$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2.34 - \frac{x}{14000} + 0$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.1

Addiere $2.34 - \frac{x}{14000}$ und $0$ .

$2.34 - \frac{x}{14000}$

Schritt 2.1.5.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{x}{14000} + 2.34$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{x}{14000} + 2.34$ .

$- \frac{x}{14000} + 2.34$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x}{14000} + 2.34 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{x}{14000} + 2.34 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $2.34$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{x}{14000} = - 2.34$

Schritt 3.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 14000$ .

$- 14000 (- \frac{x}{14000}) = - 14000 \cdot - 2.34$

Schritt 3.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.1

Vereinfache $- 14000 (- \frac{x}{14000})$ .

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Schritt 3.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $14000$ .

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Schritt 3.4.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{14000}$ in den Zähler.

$- 14000 \frac{- x}{14000} = - 14000 \cdot - 2.34$

Schritt 3.4.1.1.1.2

Faktorisiere $14000$ aus $- 14000$ heraus.

$14000 (- 1) \frac{- x}{14000} = - 14000 \cdot - 2.34$

Schritt 3.4.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$14000 \cdot - 1 \frac{- x}{14000} = - 14000 \cdot - 2.34$

Schritt 3.4.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - x = - 14000 \cdot - 2.34$

Schritt 3.4.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 3.4.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x = - 14000 \cdot - 2.34$

Schritt 3.4.1.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = - 14000 \cdot - 2.34$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $- 14000$ mit $- 2.34$ .

$x = 32760$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $32760$ .

$32760$

Schritt 5

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = - \frac{x}{14000} + 2.34$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = 2.34 x - \frac{x^{2}}{28000} - 3100$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 32760) \cup (32760, \infty)$ .

$(- \infty, 32760) \cup (32760, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 32760)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $32759$ .

$f' (32759) = - \frac{32759}{14000} + 2.34$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $32759$ und $14000$ .

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Schritt 6.2.1.1

Schreibe $32759$ als $1 (32759)$ um.

$f' (32759) = - \frac{1 (32759)}{14000} + 2.34$

Schritt 6.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1.2.1

Schreibe $14000$ als $1 (14000)$ um.

$f' (32759) = - \frac{1 \cdot 32759}{1 \cdot 14000} + 2.34$

Schritt 6.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (32759) = - \frac{1 \cdot 32759}{1 \cdot 14000} + 2.34$

Schritt 6.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (32759) = - \frac{32759}{14000} + 2.34$

Schritt 6.2.2

Um $2.34$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{14000}{14000}$ .

$f' (32759) = - \frac{32759}{14000} + 2.34 \cdot \frac{14000}{14000}$

Schritt 6.2.3

Kombiniere $2.34$ und $\frac{14000}{14000}$ .

$f' (32759) = - \frac{32759}{14000} + \frac{2.34 \cdot 14000}{14000}$

Schritt 6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (32759) = \frac{- 32759 + 2.34 \cdot 14000}{14000}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.1

Mutltipliziere $2.34$ mit $14000$ .

$f' (32759) = \frac{- 32759 + 32760}{14000}$

Schritt 6.2.5.2

Addiere $- 32759$ und $32760$ .

$f' (32759) = \frac{1}{14000}$

Schritt 6.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $14000$ .

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Schritt 6.2.6.1

Schreibe $1$ als $1 (1)$ um.

$f' (32759) = \frac{1 (1)}{14000}$

Schritt 6.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.6.2.1

Schreibe $14000$ als $1 (14000)$ um.

$f' (32759) = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 14000}$

Schritt 6.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (32759) = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 14000}$

Schritt 6.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (32759) = \frac{1}{14000}$

Schritt 6.2.7

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{14000}$ .

$\frac{1}{14000}$

Schritt 6.3

Bei $x = 32759$ ist die Ableitung $\frac{1}{14000}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 32760)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 32760)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(32760, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $32761$ .

$f' (32761) = - \frac{32761}{14000} + 2.34$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $32761$ und $14000$ .

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Schritt 7.2.1.1

Schreibe $32761$ als $1 (32761)$ um.

$f' (32761) = - \frac{1 (32761)}{14000} + 2.34$

Schritt 7.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.1.2.1

Schreibe $14000$ als $1 (14000)$ um.

$f' (32761) = - \frac{1 \cdot 32761}{1 \cdot 14000} + 2.34$

Schritt 7.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (32761) = - \frac{1 \cdot 32761}{1 \cdot 14000} + 2.34$

Schritt 7.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (32761) = - \frac{32761}{14000} + 2.34$

Schritt 7.2.2

Um $2.34$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{14000}{14000}$ .

$f' (32761) = - \frac{32761}{14000} + 2.34 \cdot \frac{14000}{14000}$

Schritt 7.2.3

Kombiniere $2.34$ und $\frac{14000}{14000}$ .

$f' (32761) = - \frac{32761}{14000} + \frac{2.34 \cdot 14000}{14000}$

Schritt 7.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (32761) = \frac{- 32761 + 2.34 \cdot 14000}{14000}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.5.1

Mutltipliziere $2.34$ mit $14000$ .

$f' (32761) = \frac{- 32761 + 32760}{14000}$

Schritt 7.2.5.2

Addiere $- 32761$ und $32760$ .

$f' (32761) = \frac{- 1}{14000}$

Schritt 7.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1$ und $14000$ .

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Schritt 7.2.6.1

Schreibe $- 1$ als $1 (- 1)$ um.

$f' (32761) = \frac{1 (- 1)}{14000}$

Schritt 7.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.6.2.1

Schreibe $14000$ als $1 (14000)$ um.

$f' (32761) = \frac{1 \cdot - 1}{1 \cdot 14000}$

Schritt 7.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (32761) = \frac{1 \cdot - 1}{1 \cdot 14000}$

Schritt 7.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (32761) = \frac{- 1}{14000}$

Schritt 7.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (32761) = - \frac{1}{14000}$

Schritt 7.2.8

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{14000}$ .

$- \frac{1}{14000}$

Schritt 7.3

Bei $x = 32761$ ist die Ableitung $- \frac{1}{14000}$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(32760, \infty)$ ab.

Abfallend im Intervall $(32760, \infty)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 32760)$

Abfallend im Intervall: $(32760, \infty)$

Schritt 9