Analysis Beispiele

$\frac{- 6}{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{- 6}{x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{- 6}{x^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{2}}]$

Schritt 2.1.2

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{6}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 2.1.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.3.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$- 6 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 2.1.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$- 6 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 6$ .

$12 x^{- 3}$

Schritt 2.1.6

Vereinfache.

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Schritt 2.1.6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 2.1.6.2

Kombiniere $12$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{12}{x^{3}}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{12}{x^{3}}$ .

$\frac{12}{x^{3}}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{12}{x^{3}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{12}{x^{3}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$12 = 0$

Schritt 3.3

Da $12 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 4

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden

Schritt 5

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 5.1

Setze den Nenner in $\frac{12}{x^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} = 0$

Schritt 5.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 6

Nach dem Auffinden des Punktes, der die Ableitung $f' (x) = \frac{12}{x^{3}}$ gleich $0$ oder undefiniert macht, ist das Intervall, in dem geprüft werden muss, wo $f (x) = \frac{- 6}{x^{2}}$ ansteigt und abfällt, gleich $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{12}{{(- 1)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (- 1) = \frac{12}{- 1}$

Schritt 7.2.2

Dividiere $12$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = - 12$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 12$ .

$- 12$

Schritt 7.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $- 12$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ ab.

Abfallend im Intervall $(- \infty, 0)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = \frac{12}{{(1)}^{3}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (1) = \frac{12}{1}$

Schritt 8.2.2

Dividiere $12$ durch $1$ .

$f' (1) = 12$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $12$ .

$12$

Schritt 8.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $12$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(0, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(0, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 9

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(0, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(- \infty, 0)$

Schritt 10