Analysis Beispiele

$x^{2} \ln (x)$

Schritt 1

Schreibe $x^{2} \ln (x)$ als Funktion.

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1.3.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 2.1.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.3.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3.2.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Schritt 2.1.3.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x \ln (x) + x$ .

$2 x \ln (x) + x$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x \ln (x) + x = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 x \ln (x) + x = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x \ln (x) = - x$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x \ln (x) = - x$ durch $2 x$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \ln (x) = - x$ durch $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Schritt 3.3.2.2.2

Dividiere $\ln (x)$ durch $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Schritt 3.3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

Schritt 3.4

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 3.5

Schreibe $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

Schritt 3.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Schreibe die Gleichung als $x = e^{- \frac{1}{2}}$ um.

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 3.6.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 5.1

Setze das Argument in $\ln (x)$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \leq 0$

Schritt 5.2

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 6

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

Schritt 7

Schließe die Intervalle aus, die nicht im Definitionsbereich sind.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln (0.30326533) + 0.30326533$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Entferne die Klammern.

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln (0.30326533) + 0.30326533$

Schritt 8.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = 0.60653067 \ln (0.30326533) + 0.30326533$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache $0.60653067 \ln (0.30326533)$ , indem du $0.60653067$ in den Logarithmus ziehst.

$f' (0.30326533) = \ln ({0.30326533}^{0.60653067}) + 0.30326533$

Schritt 8.2.2.3

Potenziere $0.30326533$ mit $0.60653067$ .

$f' (0.30326533) = \ln (0.48496413) + 0.30326533$

Schritt 8.2.3

Addiere $\ln (0.48496413)$ und $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = - 0.42041501$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.42041501$ .

$- 0.42041501$

Schritt 8.3

Bei $x = 0.30326533$ ist die Ableitung $- 0.42041501$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Schließe die Intervalle aus, die nicht im Definitionsbereich sind.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

Schritt 10

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 10.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln (1.60653067) + 1.60653067$

Schritt 10.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.1

Entferne die Klammern.

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln (1.60653067) + 1.60653067$

Schritt 10.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 3.21306134 \ln (1.60653067) + 1.60653067$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache $3.21306134 \ln (1.60653067)$ , indem du $3.21306134$ in den Logarithmus ziehst.

$f' (1.60653067) = \ln ({1.60653067}^{3.21306134}) + 1.60653067$

Schritt 10.2.2.3

Potenziere $1.60653067$ mit $3.21306134$ .

$f' (1.60653067) = \ln (4.58705612) + 1.60653067$

Schritt 10.2.3

Addiere $\ln (4.58705612)$ und $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 3.12976912$

Schritt 10.2.4

Die endgültige Lösung ist $3.12976912$ .

$3.12976912$

Schritt 10.3

Bei $x = 1.60653067$ ist die Ableitung $3.12976912$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 11

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 12