Analysis Beispiele

$f (x) = x + \frac{1}{x}$ , $a = 1$

Schritt 1

Betrachte die Funktion, die verwendet wird, um die Linearisierung bei $a$ zu bestimmen.

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Schritt 2

Setze den Wert von $a = 1$ in die Linearisierungsfunktion ein.

$L (x) = f (1) + f' (1) (x - 1)$

Schritt 3

Berechne $f (1)$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = (1) + \frac{1}{1}$

Schritt 3.2

Vereinfache $(1) + \frac{1}{1}$ .

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$(1) + \frac{1}{1}$

Schritt 3.2.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1 + 1$

Schritt 3.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

$2$

Schritt 4

Bestimme die Ableitung und berechne sie bei $1$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Ableitung von $f (x) = x + \frac{1}{x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$1 - x^{- 2}$

Schritt 4.1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 4.1.4

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Schritt 4.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$- \frac{1}{{(1)}^{2}} + 1$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{1} + 1$

Schritt 4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{1} + 1$

Schritt 4.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1 + 1$

Schritt 4.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + 1$

Schritt 4.3.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$0$

Schritt 5

Setze die Komponenten in die Linearisierungsfunktion ein, um die Linearisierung bei $a$ zu ermitteln.

$L (x) = 2 + 0 (x - 1)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $0$ mit $x - 1$ .

$L (x) = 2 + 0$

Schritt 6.2

Addiere $2$ und $0$ .

$L (x) = 2$

Schritt 7