Analysis Beispiele

$\frac{x^{2} + x + 1}{x}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{2} + x + 1}{x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{2} + x + 1}{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x^{2} + x + 1}{x} d x$

Schritt 4

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{x^{2}}{x} + \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{x}{1} d x + \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.1.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\int x d x + \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int x d x + \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\int x d x + \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \ln (| x |) + C$

Schritt 10

Vereinfache.

$\frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x |) + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x^{2} + x + 1}{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x |) + C$