Analysis Beispiele

$\frac{\cos (\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{\cos (\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{\cos (\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{\cos (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 4.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{\cos (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 4.3

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int \cos (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 4.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 4.4.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int \cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 4.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int \cos (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 5

Sei $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , folglich $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 5.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 5.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 5.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 5.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 5.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 5.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 5.1.8

Vereinfache.

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Schritt 5.1.8.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.8.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 2 \cos (u) d u$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \cos (u) d u$

Schritt 7

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$2 (\sin (u) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$2 \sin (u) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sin (x^{\frac{1}{2}}) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{\cos (\sqrt{x})}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $2 \sin (x^{\frac{1}{2}}) + C$