Analysis Beispiele

$(x + 6) (3 x - 4)$

Schritt 1

Schreibe $(x + 6) (3 x - 4)$ als Funktion.

$f (x) = (x + 6) (3 x - 4)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int (x + 6) (3 x - 4) d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x (3 x - 4) + 6 (3 x - 4) d x$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x (3 x) + x \cdot - 4 + 6 (3 x - 4) d x$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x (3 x) + x \cdot - 4 + 6 (3 x) + 6 \cdot - 4 d x$

Schritt 4.4

Stelle $x$ und $3$ um.

$\int 3 \cdot x \cdot x + x \cdot - 4 + 6 (3 x) + 6 \cdot - 4 d x$

Schritt 4.5

Stelle $x$ und $- 4$ um.

$\int 3 \cdot x \cdot x - 4 \cdot x + 6 (3 x) + 6 \cdot - 4 d x$

Schritt 4.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 3 (x^{1} x) - 4 x + 6 \cdot 3 x + 6 \cdot - 4 d x$

Schritt 4.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 3 (x^{1} x^{1}) - 4 x + 6 \cdot 3 x + 6 \cdot - 4 d x$

Schritt 4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 3 x^{1 + 1} - 4 x + 6 \cdot 3 x + 6 \cdot - 4 d x$

Schritt 4.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 3 x^{2} - 4 x + 6 \cdot 3 x + 6 \cdot - 4 d x$

Schritt 4.10

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$\int 3 x^{2} - 4 x + 18 x + 6 \cdot - 4 d x$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $6$ mit $- 4$ .

$\int 3 x^{2} - 4 x + 18 x - 24 d x$

Schritt 4.12

Addiere $- 4 x$ und $18 x$ .

$\int 3 x^{2} + 14 x - 24 d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 x^{2} d x + \int 14 x d x + \int - 24 d x$

Schritt 6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int x^{2} d x + \int 14 x d x + \int - 24 d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 14 x d x + \int - 24 d x$

Schritt 8

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $14$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 14 \int x d x + \int - 24 d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 14 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 24 d x$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 14 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 24 x + C$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

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Schritt 11.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 14 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 24 x + C$

Schritt 11.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 14 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 24 x + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

$x^{3} + 7 x^{2} - 24 x + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = (x + 6) (3 x - 4)$ .

$F (x) =$ $x^{3} + 7 x^{2} - 24 x + C$