Analysis Beispiele

$\frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)} d x$

Schritt 4

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ nach $\sec^{2} (x)$ um.

$\int e^{\tan (x)} \sec^{2} (x) d x$

Schritt 5

Sei $u = \tan (x)$ . Dann ist $d u = \sec^{2} (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = \tan (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 5.1.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int e^{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{u} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $\tan (x)$ .

$e^{\tan (x)} + C$

Schritt 8

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{e^{\tan (x)}}{\cos^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $e^{\tan (x)} + C$