Analysis Beispiele

$\frac{1}{x^{2}} + 4 x$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}} + 4 x$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{x^{2}} + 4 x$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2}} + 4 x d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{x^{2}} d x + \int 4 x d x$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int 4 x d x$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{2 \cdot - 1} d x + \int 4 x d x$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int x^{- 2} d x + \int 4 x d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int 4 x d x$

Schritt 7

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$- x^{- 1} + C + 4 \int x d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- x^{- 1} + C + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

$- \frac{1}{x} + 4 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x} + 4 \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $4$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{4 x^{2}}{2} + C$

Schritt 9.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 9.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$- \frac{1}{x} + \frac{2 (2 x^{2})}{2} + C$

Schritt 9.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{1}{x} + \frac{2 (2 x^{2})}{2 (1)} + C$

Schritt 9.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{x} + \frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Schritt 9.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{x} + \frac{2 x^{2}}{1} + C$

Schritt 9.2.3.2.4

Dividiere $2 x^{2}$ durch $1$ .

$- \frac{1}{x} + 2 x^{2} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{x^{2}} + 4 x$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x} + 2 x^{2} + C$