Analysis Beispiele

$12 \cos^{3} (2 x)$

Schritt 1

Schreibe $12 \cos^{3} (2 x)$ als Funktion.

$f (x) = 12 \cos^{3} (2 x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 12 \cos^{3} (2 x) d x$

Schritt 4

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$12 \int \cos^{3} (2 x) d x$

Schritt 5

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 5.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$12 \int \cos^{3} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 6

Kombiniere $\cos^{3} (u_{1})$ und $\frac{1}{2}$ .

$12 \int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$12 (\frac{1}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1})$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $12$ .

$\frac{12}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{1} \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 8.2.2.4

Dividiere $6$ durch $1$ .

$6 \int \cos^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 9

Faktorisiere $\cos^{2} (u_{1})$ aus.

$6 \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 10

Schreibe $\cos^{2} (u_{1})$ in $1 - \sin^{2} (u_{1})$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$6 \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 11

Sei $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Dann ist $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Schritt 11.1.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$6 \int 1 - {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Schritt 12

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$6 (\int d u_{2} + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 13

Wende die Konstantenregel an.

$6 (u_{2} + C + \int - {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 14

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$6 (u_{2} + C - \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Schritt 15

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$6 (u_{2} + C - (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C))$

Schritt 16

Vereinfache.

$6 (u_{2} - \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Schritt 17

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 17.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (u_{1})$ .

$6 (\sin (u_{1}) - \frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1})) + C$

Schritt 17.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$6 (\sin (2 x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (2 x)) + C$

Schritt 18

Vereinfache.

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Schritt 18.1

Kombiniere $\sin^{3} (2 x)$ und $\frac{1}{3}$ .

$6 (\sin (2 x) - \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Schritt 18.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 \sin (2 x) + 6 (- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}) + C$

Schritt 18.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 18.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sin^{3} (2 x)}{3}$ in den Zähler.

$6 \sin (2 x) + 6 \frac{- \sin^{3} (2 x)}{3} + C$

Schritt 18.3.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$6 \sin (2 x) + 3 (2) \frac{- \sin^{3} (2 x)}{3} + C$

Schritt 18.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \sin (2 x) + 3 \cdot 2 \frac{- \sin^{3} (2 x)}{3} + C$

Schritt 18.3.4

Forme den Ausdruck um.

$6 \sin (2 x) + 2 (- \sin^{3} (2 x)) + C$

Schritt 18.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6 \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (2 x) + C$

Schritt 19

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 12 \cos^{3} (2 x)$ .

$F (x) =$ $6 \sin (2 x) - 2 \sin^{3} (2 x) + C$