Analysis Beispiele

$4 \ln (x)$

Schritt 1

Schreibe $4 \ln (x)$ als Funktion.

$f (x) = 4 \ln (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 4 \ln (x) d x$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \ln (x) d x$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \ln (x)$ und $d v = 1$ .

$4 (\ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$4 (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 (\ln (x) x - \int d x)$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$4 (\ln (x) x - (x + C))$

Schritt 8

Vereinfache.

$4 (\ln (x) x - x) + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 4 \ln (x)$ .

$F (x) =$ $4 (\ln (x) x - x) + C$