Analysis Beispiele

$x (x - 1)$

Schritt 1

Schreibe $x (x - 1)$ als Funktion.

$f (x) = x (x - 1)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x (x - 1) d x$

Schritt 4

Multipliziere $x (x - 1)$ .

$\int x \cdot x + x \cdot - 1 d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{1} x + x \cdot - 1 d x$

Schritt 5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{1} x^{1} + x \cdot - 1 d x$

Schritt 5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{1 + 1} + x \cdot - 1 d x$

Schritt 5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\int x^{2} + x \cdot - 1 d x$

Schritt 5.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\int x^{2} - 1 \cdot x d x$

Schritt 5.6

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\int x^{2} - x d x$

Schritt 6

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{2} d x + \int - x d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - x d x$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - \int x d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x (x - 1)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C$