Analysis Beispiele

$\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

Schritt 4

Sei $x = 2 \sec (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec (t) \tan (t)$ positiv ist.

$\int \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ .

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Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \sec (t)$ an.

$\int \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 5.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ heraus.

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 5.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 5.1.6

Schreibe $4 \tan^{2} (t)$ als ${(2 \tan (t))}^{2}$ um.

$\int \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 5.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 \sec (t)$ .

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2 \sec (t)$ aus $2 \sec (t) \tan (t)$ heraus.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int 2 \tan (t) \tan (t) d t$

Schritt 6

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Schritt 7

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Schritt 8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Schritt 9

Addiere $1$ und $1$ .

$\int 2 \tan^{2} (t) d t$

Schritt 10

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \tan^{2} (t) d t$

Schritt 11

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$2 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Schritt 12

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$2 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Schritt 13

Wende die Konstantenregel an.

$2 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

Schritt 14

Da die Ableitung von $\tan (t)$ gleich $\sec^{2} (t)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (t)$ gleich $\tan (t)$ .

$2 (- t + C + \tan (t) + C)$

Schritt 15

Vereinfache.

$2 (- t + \tan (t)) + C$

Schritt 16

Ersetze alle $t$ durch $arcsec (\frac{x}{2})$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \tan (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $arcsec (\frac{x}{2})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ verläuft. Folglich ist $\tan (arcsec (\frac{x}{2}))$ $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}) + C$

Schritt 17.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}) + C$

Schritt 17.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{x}{2}$ und $b = 1$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Schritt 17.1.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Schritt 17.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Schritt 17.1.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}) + C$

Schritt 17.1.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}) + C$

Schritt 17.1.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}) + C$

Schritt 17.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}) + C$

Schritt 17.1.10

Mutltipliziere $\frac{x + 2}{2}$ mit $\frac{x - 2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}) + C$

Schritt 17.1.11

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}) + C$

Schritt 17.1.12

Schreibe $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ um.

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Schritt 17.1.12.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $(x + 2) (x - 2)$ heraus.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}) + C$

Schritt 17.1.12.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}) + C$

Schritt 17.1.12.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}) + C$

Schritt 17.1.13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}) + C$

Schritt 17.1.14

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Schritt 17.2

Um $- arcsec (\frac{x}{2})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Schritt 17.3

Kombiniere $- arcsec (\frac{x}{2})$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Schritt 17.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

Schritt 17.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 17.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

Schritt 17.5.2

Forme den Ausdruck um.

$- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

Schritt 17.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

Schritt 18

Stelle die Terme um.

$- 2 arcsec (\frac{1}{2} x) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

Schritt 19

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x}$ .

$F (x) =$ $- 2 arcsec (\frac{1}{2} x) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$