Analysis Beispiele

${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ als Funktion.

$f (x) = {(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int {(x - \frac{1}{2 x})}^{2} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe ${(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ als $(x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x})$ um.

$\int (x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x}) d x$

Schritt 4.2

Multipliziere $(x - \frac{1}{2 x}) (x - \frac{1}{2 x})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x (x - \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} (x - \frac{1}{2 x}) d x$

Schritt 4.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x \cdot x + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} (x - \frac{1}{2 x}) d x$

Schritt 4.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int x \cdot x + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Schritt 4.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\int x^{2} + x (- \frac{1}{2 x}) - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\int x^{2} - x \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Schritt 4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.3.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{2 x} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Schritt 4.3.1.3.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot 2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Schritt 4.3.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int x^{2} + x \cdot - 1 \frac{1}{x \cdot 2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Schritt 4.3.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Schritt 4.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.3.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2 x}$ in den Zähler.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2 x} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Schritt 4.3.1.4.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{x \cdot 2} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Schritt 4.3.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{x \cdot 2} x - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Schritt 4.3.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Schritt 4.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x}) d x$

Schritt 4.3.1.6

Multipliziere $- \frac{1}{2 x} (- \frac{1}{2 x})$ .

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Schritt 4.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 \frac{1}{2 x} \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 4.3.1.6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 x}$ mit $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{2 x} d x$

Schritt 4.3.1.6.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2 x}$ mit $\frac{1}{2 x}$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 x (2 x)} d x$

Schritt 4.3.1.6.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x \cdot x} d x$

Schritt 4.3.1.6.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 (x^{1} x)} d x$

Schritt 4.3.1.6.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 (x^{1} x^{1})} d x$

Schritt 4.3.1.6.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{1 + 1}} d x$

Schritt 4.3.1.6.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\int x^{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von $- \frac{1}{2}$ .

$\int x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\int x^{2} + 2 (- 1) \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Schritt 4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int x^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Schritt 4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\int x^{2} - 1 + \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{2} d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \int \frac{1}{4 x^{2}} d x$

Schritt 8

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 9

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 9.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 9.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 9.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} \int x^{- 2} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x + C + \frac{1}{4} (- x^{- 1} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

$\frac{1}{3} x^{3} - x + \frac{1}{4} (- x^{- 1}) + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{x^{- 1}}{4} + C$

Schritt 11.2.2

Bringe $x^{- 1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{1}{4 x} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = {(x - \frac{1}{2 x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x - \frac{1}{4 x} + C$