Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos^{2} (x))}{x^{3}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.2.1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.2.1.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1 - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.2.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.2.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Ziehe den Exponenten $3$ von $x^{3}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Schritt 1.3.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos^{2} (x))}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.4.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \cos (x) (- \sin (x)))}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 2 \cos (x) \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 (\cos (x) \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.4.6

Entferne die Klammern.

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Addiere $0$ und $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.5.2

Stelle $2 \cos (x)$ und $\sin (x)$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.5.3

Stelle $\sin (x)$ und $2$ um.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.5.4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{3 x^{2}}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x^{2}}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 4.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 3 x^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 3 x^{2}}$

Schritt 4.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 3 x^{2}}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 3 x^{2}}$

Schritt 4.1.2.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3 x^{2}}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1.3.1.1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0} x^{2}}$

Schritt 4.1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Schritt 4.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0^{2}}$

Schritt 4.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1.3.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0}$

Schritt 4.1.3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{3 x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 4.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Schritt 4.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Schritt 4.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Schritt 4.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Schritt 4.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Schritt 4.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Schritt 4.3.7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Schritt 4.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{3 (2 x)}$

Schritt 4.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{6 x}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cos (2 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos (2 x))}{6 x}$

Schritt 4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos (2 x))}{2 (3 x)}$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 (3 x)}$

Schritt 4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{3 x}$

Schritt 5

Da die Funktion von links gegen $- \infty$ geht und von rechts gegen $\infty$ geht, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$