Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} x \sin (\frac{3 π}{x})$

Schritt 1

Schreibe $x \sin (\frac{3 π}{x})$ als $\frac{\sin (\frac{3 π}{x})}{\frac{1}{x}}$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{3 π}{x})}{\frac{1}{x}}$

Schritt 2

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 2.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 2.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sin (\frac{3 π}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 2.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 2.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{\sin (lim_{x \to \infty} \frac{3 π}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 2.1.2.1.2

Ziehe den Term $3 π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sin (3 π lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 2.1.2.2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{\sin (3 π \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.1.2.3.1

Multipliziere $3 π \cdot 0$ .

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

$\frac{\sin (0 π)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 2.1.2.3.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 2.1.3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{3 π}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{3 π}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 2.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{3 π}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \frac{3 π}{x}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{3 π}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 π}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 π}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{3 π}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{3 π}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{3 π}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.3

Da $3 π$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 π}{x}$ nach $x$ gleich $3 π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{3 π}{x}) (3 π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{3 π}{x}) (3 π \frac{d}{d x} [x^{- 1}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{3 π}{x}) (3 π (- x^{- 2}))}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{3 π}{x}) (- 3 π x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{3 π}{x}) (- 3 π \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.7.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.3.7.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $- 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{3 π}{x}) (\frac{- 3}{x^{2}} π)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.7.2.2

Kombiniere $\frac{- 3}{x^{2}}$ und $π$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{3 π}{x}) \frac{- 3 π}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.7.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{3 π}{x}) (- \frac{3 π}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.7.2.4

Kombiniere $\cos (\frac{3 π}{x})$ und $\frac{3 π}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\cos (\frac{3 π}{x}) (3 π)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.7.2.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (\frac{3 π}{x})$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{3 π}{x}) π}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.7.3

Stelle die Faktoren in $- \frac{3 \cos (\frac{3 π}{x}) π}{x^{2}}$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Schritt 2.3.8

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Schritt 2.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{x})}{x^{2}}}{- x^{- 2}}$

Schritt 2.3.10

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{x})}{x^{2}}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to \infty} - \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{x})}{x^{2}} (- x^{2})$

Schritt 2.5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{x})}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $\frac{3 π \cos (\frac{3 π}{x})}{x^{2}}$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{x})}{x^{2}} x^{2}$

Schritt 2.5.3

Kombiniere $\frac{3 π \cos (\frac{3 π}{x})}{x^{2}}$ und $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 π \cos (\frac{3 π}{x}) x^{2}}{x^{2}}$

Schritt 2.6.2

Dividiere $3 π \cos (\frac{3 π}{x})$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} 3 π \cos (\frac{3 π}{x})$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Ziehe den Term $3 π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 π lim_{x \to \infty} \cos (\frac{3 π}{x})$

Schritt 3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$3 π \cos (lim_{x \to \infty} \frac{3 π}{x})$

Schritt 3.3

Ziehe den Term $3 π$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$3 π \cos (3 π lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

Schritt 4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$3 π \cos (3 π \cdot 0)$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Multipliziere $3 π \cdot 0$ .

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $3$ .

$3 π \cos (0 π)$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $π$ .

$3 π \cos (0)$

Schritt 5.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$3 π \cdot 1$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 π$