Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{5 x - \sin (5 x)}{5 x - \tan (5 x)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 5 x - \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

Schritt 1.2.2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

Schritt 1.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$\frac{5 lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

Schritt 1.2.4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{5 lim_{x \to 0} x - \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

Schritt 1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

Schritt 1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 - \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.6.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0 - \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

Schritt 1.2.6.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

Schritt 1.2.6.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

Schritt 1.2.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x - \tan (5 x)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x - lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Schritt 1.3.2

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Schritt 1.3.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x - \tan (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Schritt 1.3.4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x - \tan (5 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.3.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 1.3.5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0 - \tan (5 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 1.3.5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0 - \tan (5 \cdot 0)}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.6.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 - \tan (5 \cdot 0)}$

Schritt 1.3.6.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 - \tan (0)}$

Schritt 1.3.6.1.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Schritt 1.3.6.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Schritt 1.3.6.2

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.6.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.7

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{5 x - \sin (5 x)}{5 x - \tan (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x - \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x - \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - \sin (5 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 + \frac{d}{d x} [- \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (5 x)]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (5 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Schritt 3.4.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - (\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Schritt 3.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Schritt 3.4.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Schritt 3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - (\cos (5 x) (5 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - (\cos (5 x) \cdot 5)}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Schritt 3.4.6

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - (5 \cos (5 x))}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [5 x - \tan (5 x)]}$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - \tan (5 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (5 x)]}$

Schritt 3.6

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 3.6.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (5 x)]}$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (5 x)]}$

Schritt 3.6.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 + \frac{d}{d x} [- \tan (5 x)]}$

Schritt 3.7

Berechne $\frac{d}{d x} [- \tan (5 x)]$ .

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Schritt 3.7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \tan (5 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Schritt 3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 3.7.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [5 x])}$

Schritt 3.7.2.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [5 x])}$

Schritt 3.7.2.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}$

Schritt 3.7.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - (\sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}$

Schritt 3.7.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - (\sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1))}$

Schritt 3.7.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - (\sec^{2} (5 x) \cdot 5)}$

Schritt 3.7.6

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - (5 \sec^{2} (5 x))}$

Schritt 3.7.7

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \cos (5 x)}{5 - 5 \sec^{2} (5 x)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5 - 5 \cos (5 x)$ und $5 - 5 \sec^{2} (5 x)$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{5 (1) - 5 \cos (5 x)}{5 - 5 \sec^{2} (5 x)}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5 \cos (5 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{5 (1) + 5 (- \cos (5 x))}{5 - 5 \sec^{2} (5 x)}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (1) + 5 (- \cos (5 x))$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{5 (1 - \cos (5 x))}{5 - 5 \sec^{2} (5 x)}$

Schritt 4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{5 (1 - \cos (5 x))}{5 \cdot 1 - 5 \sec^{2} (5 x)}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5 \sec^{2} (5 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{5 (1 - \cos (5 x))}{5 \cdot 1 + 5 (- \sec^{2} (5 x))}$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (1) + 5 (- \sec^{2} (5 x))$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{5 (1 - \cos (5 x))}{5 (1 - \sec^{2} (5 x))}$

Schritt 4.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{5 (1 - \cos (5 x))}{5 (1 - \sec^{2} (5 x))}$

Schritt 4.4.5

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (5 x)}{1 - \sec^{2} (5 x)}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

Schritt 5.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 5.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

Schritt 5.1.2.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

Schritt 5.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

Schritt 5.1.2.1.4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1 - \cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

Schritt 5.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1 - \cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

Schritt 5.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

Schritt 5.1.2.3.1.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

Schritt 5.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

Schritt 5.1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}$

Schritt 5.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}$

Schritt 5.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}$

Schritt 5.1.3.1.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $\sec^{2} (5 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} \sec (5 x))}^{2}}$

Schritt 5.1.3.1.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sekans ist stetig.

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Schritt 5.1.3.1.5

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Schritt 5.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (5 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1.3.3.1

Stelle $1$ und $- \sec^{2} (5 \cdot 0)$ um.

$\frac{0}{- \sec^{2} (5 \cdot 0) + 1}$

Schritt 5.1.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec^{2} (5 \cdot 0)$ heraus.

$\frac{0}{- (\sec^{2} (5 \cdot 0)) + 1}$

Schritt 5.1.3.3.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{0}{- \sec^{2} (5 \cdot 0) - 1 \cdot - 1}$

Schritt 5.1.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec^{2} (5 \cdot 0) - 1 \cdot - 1$ heraus.

$\frac{0}{- (\sec^{2} (5 \cdot 0) - 1)}$

Schritt 5.1.3.3.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{0}{- \tan^{2} (5 \cdot 0)}$

Schritt 5.1.3.3.6

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$\frac{0}{- \tan^{2} (0)}$

Schritt 5.1.3.3.7

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{- 0^{2}}$

Schritt 5.1.3.3.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{- 0}$

Schritt 5.1.3.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.3.3.10

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (5 x)}{1 - \sec^{2} (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Schritt 5.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \cos (5 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Schritt 5.3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Schritt 5.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (5 x)]$ .

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Schritt 5.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (5 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Schritt 5.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Schritt 5.3.4.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Schritt 5.3.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Schritt 5.3.4.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Schritt 5.3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Schritt 5.3.4.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- \sin (5 x) \cdot 5)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Schritt 5.3.4.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (- 5 \sin (5 x))}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Schritt 5.3.4.7

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 5 \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Schritt 5.3.5

Addiere $0$ und $5 \sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}$

Schritt 5.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \sec^{2} (5 x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]}$

Schritt 5.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]}$

Schritt 5.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]$ .

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Schritt 5.3.8.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sec^{2} (5 x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - \frac{d}{d x} [\sec^{2} (5 x)]}$

Schritt 5.3.8.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sec (5 x)$ .

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Schritt 5.3.8.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sec (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])}$

Schritt 5.3.8.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])}$

Schritt 5.3.8.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sec (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])}$

Schritt 5.3.8.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 5.3.8.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 \sec (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]))}$

Schritt 5.3.8.3.2

Die Ableitung von $\sec (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]))}$

Schritt 5.3.8.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}$

Schritt 5.3.8.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))}$

Schritt 5.3.8.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \cdot 1)))}$

Schritt 5.3.8.6

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) \cdot 5))}$

Schritt 5.3.8.7

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\sec (5 x) \tan (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (2 \sec (5 x) (5 \cdot (\sec (5 x) \tan (5 x))))}$

Schritt 5.3.8.8

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (10 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x)))}$

Schritt 5.3.8.9

Potenziere $\sec (5 x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (10 (\sec^{1} (5 x) \sec (5 x)) \tan (5 x))}$

Schritt 5.3.8.10

Potenziere $\sec (5 x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (10 (\sec^{1} (5 x) \sec^{1} (5 x)) \tan (5 x))}$

Schritt 5.3.8.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (10 {\sec (5 x)}^{1 + 1} \tan (5 x))}$

Schritt 5.3.8.12

Addiere $1$ und $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - (10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x))}$

Schritt 5.3.8.13

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{0 - 10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)}$

Schritt 5.3.9

Vereinfache.

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Schritt 5.3.9.1

Subtrahiere $10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)$ von $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- 10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)}$

Schritt 5.3.9.2

Schreibe $\sec (5 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- 10 {(\frac{1}{\cos (5 x)})}^{2} \tan (5 x)}$

Schritt 5.3.9.3

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (5 x)}$ an.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- 10 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}$

Schritt 5.3.9.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- 10 \frac{1}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}$

Schritt 5.3.9.5

Kombiniere $- 10$ und $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{\frac{- 10}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}$

Schritt 5.3.9.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- \frac{10}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}$

Schritt 5.3.9.7

Schreibe $\tan (5 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- \frac{10}{\cos^{2} (5 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Schritt 5.3.9.8

Multipliziere $- \frac{10}{\cos^{2} (5 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

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Schritt 5.3.9.8.1

Mutltipliziere $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ mit $\frac{10}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{\cos (5 x) \cos^{2} (5 x)}}$

Schritt 5.3.9.8.2

Multipliziere $\cos (5 x)$ mit $\cos^{2} (5 x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.9.8.2.1

Mutltipliziere $\cos (5 x)$ mit $\cos^{2} (5 x)$ .

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Schritt 5.3.9.8.2.1.1

Potenziere $\cos (5 x)$ mit $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{\cos^{1} (5 x) \cos^{2} (5 x)}}$

Schritt 5.3.9.8.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{{\cos (5 x)}^{1 + 2}}}$

Schritt 5.3.9.8.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{\cos^{3} (5 x)}}$

Schritt 5.3.9.9

Bringe $10$ auf die linke Seite von $\sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}$

Schritt 5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 0} 5 \sin (5 x) (- \frac{\cos^{3} (5 x)}{10 \sin (5 x)})$

Schritt 5.5

Vereinige Faktoren.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$lim_{x \to 0} - 5 \sin (5 x) \frac{\cos^{3} (5 x)}{10 \sin (5 x)}$

Schritt 5.5.2

Kombiniere $\frac{\cos^{3} (5 x)}{10 \sin (5 x)}$ und $- 5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (5 x) \cdot - 5}{10 \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Schritt 5.5.3

Kombiniere $\frac{\cos^{3} (5 x) \cdot - 5}{10 \sin (5 x)}$ und $\sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (5 x) \cdot - 5 \sin (5 x)}{10 \sin (5 x)}$

Schritt 5.6

Vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $10$ .

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Schritt 5.6.1.1

Faktorisiere $5$ aus $\cos^{3} (5 x) \cdot - 5 \sin (5 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos^{3} (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x))}{10 \sin (5 x)}$

Schritt 5.6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.6.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10 \sin (5 x)$ heraus.

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos^{3} (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x))}{5 (2 \sin (5 x))}$

Schritt 5.6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos^{3} (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x))}{5 (2 \sin (5 x))}$

Schritt 5.6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x)}{2 \sin (5 x)}$

Schritt 5.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (5 x)$ .

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x)}{2 \sin (5 x)}$

Schritt 5.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (5 x) \cdot - 1}{2}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x) \cdot - 1$

Schritt 6.2

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)$

Schritt 6.3

Ziehe den Exponenten $3$ von $\cos^{3} (5 x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{3}$

Schritt 6.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \cos^{3} (lim_{x \to 0} 5 x)$

Schritt 6.5

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \cos^{3} (5 \cdot 0)$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{- 1}{2} \cos^{3} (5 \cdot 0)$

Schritt 8.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (5 \cdot 0)$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (0)$

Schritt 8.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

Schritt 8.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 8.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2}$