Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{y^{2}}{b^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \frac{x^{2}}{a^{2}}}{- 1}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{y^{2}}{b^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \frac{x^{2}}{a^{2}}}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2

Dividiere $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ durch $1$ .

$\frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \frac{x^{2}}{a^{2}}}{- 1}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\frac{y^{2}}{b^{2}} = - 1 + \frac{- \frac{x^{2}}{a^{2}}}{- 1}$

Schritt 1.2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y^{2}}{b^{2}} = - 1 + \frac{\frac{x^{2}}{a^{2}}}{1}$

Schritt 1.2.3.1.3

Dividiere $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ durch $1$ .

$\frac{y^{2}}{b^{2}} = - 1 + \frac{x^{2}}{a^{2}}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $b^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{b^{2}} b^{2} = (- 1 + \frac{x^{2}}{a^{2}}) b^{2}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b^{2}$ .

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Schritt 1.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{b^{2}} b^{2} = (- 1 + \frac{x^{2}}{a^{2}}) b^{2}$

Schritt 1.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = (- 1 + \frac{x^{2}}{a^{2}}) b^{2}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache $(- 1 + \frac{x^{2}}{a^{2}}) b^{2}$ .

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Schritt 1.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = - 1 b^{2} + \frac{x^{2}}{a^{2}} b^{2}$

Schritt 1.4.2.1.2

Schreibe $- 1 b^{2}$ als $- b^{2}$ um.

$y^{2} = - b^{2} + \frac{x^{2}}{a^{2}} b^{2}$

Schritt 1.4.2.1.3

Kombiniere $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ und $b^{2}$ .

$y^{2} = - b^{2} + \frac{x^{2} b^{2}}{a^{2}}$

Schritt 1.4.2.1.4

Vereinfache durch Vertauschen.

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Schritt 1.4.2.1.4.1

Stelle $x^{2}$ und $b^{2}$ um.

$y^{2} = - b^{2} + \frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}}$

Schritt 1.4.2.1.4.2

Stelle $- b^{2}$ und $\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}}$ um.

$y^{2} = \frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}} - b^{2}$

Schritt 1.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.5.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}} - b^{2}}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}} - b^{2}}$ .

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $b^{2}$ aus $\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}} - b^{2}$ heraus.

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Schritt 1.5.2.1.1

Faktorisiere $b^{2}$ aus $\frac{b^{2} x^{2}}{a^{2}}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{b^{2} \frac{x^{2}}{a^{2}} - b^{2}}$

Schritt 1.5.2.1.2

Faktorisiere $b^{2}$ aus $- b^{2}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{b^{2} \frac{x^{2}}{a^{2}} + b^{2} \cdot - 1}$

Schritt 1.5.2.1.3

Faktorisiere $b^{2}$ aus $b^{2} \frac{x^{2}}{a^{2}} + b^{2} \cdot - 1$ heraus.

$y = \pm \sqrt{b^{2} (\frac{x^{2}}{a^{2}} - 1)}$

Schritt 1.5.2.2

Schreibe $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ als ${(\frac{x}{a})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{b^{2} ({(\frac{x}{a})}^{2} - 1)}$

Schritt 1.5.2.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{b^{2} ({(\frac{x}{a})}^{2} - 1^{2})}$

Schritt 1.5.2.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{x}{a}$ und $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} (\frac{x}{a} + 1) (\frac{x}{a} - 1)}$

Schritt 1.5.2.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{b^{2} (\frac{x}{a} + \frac{a}{a}) (\frac{x}{a} - 1)}$

Schritt 1.5.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{b^{2} \frac{x + a}{a} (\frac{x}{a} - 1)}$

Schritt 1.5.2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a}{a}$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} \frac{x + a}{a} (\frac{x}{a} - 1 \cdot \frac{a}{a})}$

Schritt 1.5.2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{a}{a}$ .

$y = \pm \sqrt{b^{2} \frac{x + a}{a} (\frac{x}{a} + \frac{- a}{a})}$

Schritt 1.5.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{b^{2} \frac{x + a}{a} \frac{x - a}{a}}$

Schritt 1.5.2.10

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.5.2.10.1

Kombiniere $b^{2}$ und $\frac{x + a}{a}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} (x + a)}{a} \cdot \frac{x - a}{a}}$

Schritt 1.5.2.10.2

Mutltipliziere $\frac{b^{2} (x + a)}{a}$ mit $\frac{x - a}{a}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} (x + a) (x - a)}{a \cdot a}}$

Schritt 1.5.2.10.3

Potenziere $a$ mit $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} (x + a) (x - a)}{a^{1} a}}$

Schritt 1.5.2.10.4

Potenziere $a$ mit $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} (x + a) (x - a)}{a^{1} a^{1}}}$

Schritt 1.5.2.10.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} (x + a) (x - a)}{a^{1 + 1}}}$

Schritt 1.5.2.10.6

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} (x + a) (x - a)}{a^{2}}}$

Schritt 1.5.2.11

Schreibe $\frac{b^{2} (x + a) (x - a)}{a^{2}}$ als ${(\frac{b}{a})}^{2} ((x + a) (x - a))$ um.

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Schritt 1.5.2.11.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $b^{2}$ aus $b^{2} (x + a) (x - a)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} ((x + a) (x - a))}{a^{2}}}$

Schritt 1.5.2.11.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $a^{2}$ aus $a^{2}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{b^{2} ((x + a) (x - a))}{a^{2} \cdot 1}}$

Schritt 1.5.2.11.3

Ordne den Bruch $\frac{b^{2} ((x + a) (x - a))}{a^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{b}{a})}^{2} ((x + a) (x - a))}$

Schritt 1.5.2.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{b}{a} \sqrt{(x + a) (x - a)}$

Schritt 1.5.2.13

Kombiniere $\frac{b}{a}$ und $\sqrt{(x + a) (x - a)}$ .

$y = \pm \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

Schritt 1.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.5.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

Schritt 1.5.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

Schritt 1.5.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

$y = - \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

$y = \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

$y = - \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

$y = \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

$y = - \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

$y = \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

$y = - \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

Schritt 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a} \to f (x) = \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

$y = - \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a} \to f (x) = - \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$

Schritt 3

Because the $y$ variable in the equation $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 3.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{a^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{a^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Schritt 3.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{a^{2}}]$ .

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Schritt 3.2.2.1

Da $\frac{1}{a^{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{a^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{a^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{a^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Schritt 3.2.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{a^{2}}$ .

$\frac{2}{a^{2}} x + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Schritt 3.2.2.4

Kombiniere $\frac{2}{a^{2}}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$

Schritt 3.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{b^{2}}]$ .

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Schritt 3.2.3.1

Da $- \frac{1}{b^{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{y^{2}}{b^{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{b^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{2 x}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} (2 y y')$

Schritt 3.2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} - 2 \frac{1}{b^{2}} (y y')$

Schritt 3.2.3.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{b^{2}}$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} + \frac{- 2}{b^{2}} (y y')$

Schritt 3.2.3.6

Kombiniere $y$ und $\frac{- 2}{b^{2}}$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} + \frac{y \cdot - 2}{b^{2}} y'$

Schritt 3.2.3.7

Kombiniere $\frac{y \cdot - 2}{b^{2}}$ und $y'$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} + \frac{y \cdot - 2 y'}{b^{2}}$

Schritt 3.2.3.8

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{2 x}{a^{2}} + \frac{- 2 \cdot y y'}{b^{2}}$

Schritt 3.2.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 x}{a^{2}} - \frac{2 y y'}{b^{2}}$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{2 x}{a^{2}} - \frac{2 y y'}{b^{2}} = 0$

Schritt 3.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $\frac{2 x}{a^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{2 y y'}{b^{2}} = - \frac{2 x}{a^{2}}$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{2 y y'}{b^{2}} = - \frac{2 x}{a^{2}}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{2 y y'}{b^{2}} = - \frac{2 x}{a^{2}}$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{2 y y'}{b^{2}}}{- 1} = \frac{- \frac{2 x}{a^{2}}}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{2 y y'}{b^{2}}}{1} = \frac{- \frac{2 x}{a^{2}}}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.2

Dividiere $\frac{2 y y'}{b^{2}}$ durch $1$ .

$\frac{2 y y'}{b^{2}} = \frac{- \frac{2 x}{a^{2}}}{- 1}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{2 y y'}{b^{2}} = \frac{\frac{2 x}{a^{2}}}{1}$

Schritt 3.5.2.3.2

Dividiere $\frac{2 x}{a^{2}}$ durch $1$ .

$\frac{2 y y'}{b^{2}} = \frac{2 x}{a^{2}}$

Schritt 3.5.3

Multipliziere beide Seiten mit $b^{2}$ .

$\frac{2 y y'}{b^{2}} b^{2} = \frac{2 x}{a^{2}} b^{2}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b^{2}$ .

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Schritt 3.5.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y'}{b^{2}} b^{2} = \frac{2 x}{a^{2}} b^{2}$

Schritt 3.5.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 y y' = \frac{2 x}{a^{2}} b^{2}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kombiniere $\frac{2 x}{a^{2}}$ und $b^{2}$ .

$2 y y' = \frac{2 x b^{2}}{a^{2}}$

Schritt 3.5.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = \frac{2 x b^{2}}{a^{2}}$ durch $2 y$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y y' = \frac{2 x b^{2}}{a^{2}}$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x b^{2}}{a^{2}}}{2 y}$

Schritt 3.5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x b^{2}}{a^{2}}}{2 y}$

Schritt 3.5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x b^{2}}{a^{2}}}{2 y}$

Schritt 3.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x b^{2}}{a^{2}}}{2 y}$

Schritt 3.5.5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 x b^{2}}{a^{2}}}{2 y}$

Schritt 3.5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = \frac{2 x b^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

Schritt 3.5.5.3.2

Kombinieren.

$y' = \frac{2 x b^{2} \cdot 1}{a^{2} (2 y)}$

Schritt 3.5.5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 x b^{2} \cdot 1}{a^{2} (2 y)}$

Schritt 3.5.5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x b^{2} \cdot 1}{a^{2} (y)}$

Schritt 3.5.5.3.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y' = \frac{b^{2} x}{a^{2} y}$

Schritt 3.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{b^{2} x}{a^{2} y}$

Schritt 4

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{b^{2} x}{a^{2} y} = 0$ .

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Schritt 4.1

Setze den Zähler gleich Null.

$b^{2} x = 0$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $b^{2} x = 0$ durch $b^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $b^{2} x = 0$ durch $b^{2}$ .

$\frac{b^{2} x}{b^{2}} = \frac{0}{b^{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{b^{2} x}{b^{2}} = \frac{0}{b^{2}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{b^{2}}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Dividiere $0$ durch $b^{2}$ .

$x = 0$

Schritt 5

Solve the function $f (x) = \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$ at $x = 0$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{((0) + a) ((0) - a)}}{a}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1.1

Schreibe $0$ als $- 1 (0)$ um.

$f (0) = \frac{b \sqrt{(- 1 \cdot 0 + a) (0 - a)}}{a}$

Schritt 5.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $a$ heraus.

$f (0) = \frac{b \sqrt{(- 1 \cdot 0 - 1 (- a)) (0 - a)}}{a}$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (0) - 1 (- a)$ heraus.

$f (0) = \frac{b \sqrt{- 1 (0 - a) (0 - a)}}{a}$

Schritt 5.2.1.4

Potenziere $0 - a$ mit $1$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{- 1 ((0 - a) (0 - a))}}{a}$

Schritt 5.2.1.5

Potenziere $0 - a$ mit $1$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{- 1 ((0 - a) (0 - a))}}{a}$

Schritt 5.2.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (0) = \frac{b \sqrt{- 1 {(0 - a)}^{1 + 1}}}{a}$

Schritt 5.2.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{- 1 {(0 - a)}^{2}}}{a}$

Schritt 5.2.1.8

Subtrahiere $a$ von $0$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{- 1 {(- a)}^{2}}}{a}$

Schritt 5.2.1.9

Wende die Produktregel auf $- a$ an.

$f (0) = \frac{b \sqrt{- 1 {(- 1)}^{2} a^{2}}}{a}$

Schritt 5.2.1.10

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.10.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{(- 1) {(- 1)}^{2} a^{2}}}{a}$

Schritt 5.2.1.10.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (0) = \frac{b \sqrt{{(- 1)}^{1 + 2} a^{2}}}{a}$

Schritt 5.2.1.10.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{{(- 1)}^{3} a^{2}}}{a}$

Schritt 5.2.1.11

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (0) = \frac{b \sqrt{- a^{2}}}{a}$

Schritt 5.2.1.12

Stelle $- 1$ und $a^{2}$ um.

$f (0) = \frac{b \sqrt{a^{2} \cdot - 1}}{a}$

Schritt 5.2.1.13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (0) = \frac{b (a \sqrt{- 1})}{a}$

Schritt 5.2.1.14

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$f (0) = \frac{b a i}{a}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (0) = \frac{b a i}{a}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $b i$ durch $1$ .

$f (0) = b i$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $b i$ .

$b i$

Schritt 6

A tangent line cannot be imaginary. The line $y = b i$ does not exist on the real coordinate system. A tangent cannot contain imaginary values.

Schritt 7

Solve the function $f (x) = - \frac{b \sqrt{(x + a) (x - a)}}{a}$ at $x = 0$ .

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{((0) + a) ((0) - a)}}{a}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Schreibe $0$ als $- 1 (0)$ um.

$f (0) = - \frac{b \sqrt{(- 1 \cdot 0 + a) (0 - a)}}{a}$

Schritt 7.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $a$ heraus.

$f (0) = - \frac{b \sqrt{(- 1 \cdot 0 - 1 (- a)) (0 - a)}}{a}$

Schritt 7.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (0) - 1 (- a)$ heraus.

$f (0) = - \frac{b \sqrt{- 1 (0 - a) (0 - a)}}{a}$

Schritt 7.2.1.4

Potenziere $0 - a$ mit $1$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{- 1 ((0 - a) (0 - a))}}{a}$

Schritt 7.2.1.5

Potenziere $0 - a$ mit $1$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{- 1 ((0 - a) (0 - a))}}{a}$

Schritt 7.2.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (0) = - \frac{b \sqrt{- 1 {(0 - a)}^{1 + 1}}}{a}$

Schritt 7.2.1.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{- 1 {(0 - a)}^{2}}}{a}$

Schritt 7.2.1.8

Subtrahiere $a$ von $0$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{- 1 {(- a)}^{2}}}{a}$

Schritt 7.2.1.9

Wende die Produktregel auf $- a$ an.

$f (0) = - \frac{b \sqrt{- 1 {(- 1)}^{2} a^{2}}}{a}$

Schritt 7.2.1.10

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.2.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 7.2.1.10.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{(- 1) {(- 1)}^{2} a^{2}}}{a}$

Schritt 7.2.1.10.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (0) = - \frac{b \sqrt{{(- 1)}^{1 + 2} a^{2}}}{a}$

Schritt 7.2.1.10.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{{(- 1)}^{3} a^{2}}}{a}$

Schritt 7.2.1.11

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (0) = - \frac{b \sqrt{- a^{2}}}{a}$

Schritt 7.2.1.12

Stelle $- 1$ und $a^{2}$ um.

$f (0) = - \frac{b \sqrt{a^{2} \cdot - 1}}{a}$

Schritt 7.2.1.13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (0) = - \frac{b (a \sqrt{- 1})}{a}$

Schritt 7.2.1.14

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$f (0) = - \frac{b a i}{a}$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (0) = - \frac{b a i}{a}$

Schritt 7.2.2.2

Dividiere $b i$ durch $1$ .

$f (0) = - (b i)$

$f (0) = - b i$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- b i$ .

$- b i$

Schritt 8

A tangent line cannot be imaginary. The line $y = - b i$ does not exist on the real coordinate system. A tangent cannot contain imaginary values.

Schritt 9

There are no horizontal tangent lines on the function.

No horizontal tangent lines

Schritt 10