Analysis Beispiele

$x^{3} y^{2} = x y^{3} + 6$

Schritt 1

Set each solution of $x^{3} y^{2}$ as a function of $x$ .

$y = x y^{3} + 6 \to f (x) = x y^{3} + 6$

Schritt 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} y^{2} = x y^{3} + 6$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{3} y^{2}) = \frac{d}{d x} (x y^{3} + 6)$

Schritt 2.2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x^{3} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})$

Schritt 2.2.6

Stelle um.

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Schritt 2.2.6.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$2 x^{3} y y' + 3 \cdot y^{2} x^{2}$

Schritt 2.2.6.2

Stelle die Terme um.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 2.3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y^{3} + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

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Schritt 2.3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.3.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.3.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.3.2.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.3.2.6

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + \frac{d}{d x} [6]$

Schritt 2.3.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + 0$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Addiere $3 x y^{2} y' + y^{3}$ und $0$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3}$

Schritt 2.3.4.2

Stelle die Terme um.

$y^{3} + 3 y^{2} x y'$

Schritt 2.4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} = y^{3} + 3 y^{2} x y'$

Schritt 2.5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 2.5.1

Subtrahiere $3 y^{2} x y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2} - 3 y^{2} x y' = y^{3}$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $3 x^{2} y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} y y' - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere $x y y'$ aus $2 x^{3} y y' - 3 y^{2} x y'$ heraus.

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Schritt 2.5.3.1

Faktorisiere $x y y'$ aus $2 x^{3} y y'$ heraus.

$x y y' (2 x^{2}) - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 2.5.3.2

Faktorisiere $x y y'$ aus $- 3 y^{2} x y'$ heraus.

$x y y' (2 x^{2}) + x y y' (- 3 y) = y^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 2.5.3.3

Faktorisiere $x y y'$ aus $x y y' (2 x^{2}) + x y y' (- 3 y)$ heraus.

$x y y' (2 x^{2} - 3 y) = y^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 2.5.4

Teile jeden Ausdruck in $x y y' (2 x^{2} - 3 y) = y^{3} - 3 x^{2} y^{2}$ durch $x y (2 x^{2} - 3 y)$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x y y' (2 x^{2} - 3 y) = y^{3} - 3 x^{2} y^{2}$ durch $x y (2 x^{2} - 3 y)$ .

$\frac{x y y' (2 x^{2} - 3 y)}{x y (2 x^{2} - 3 y)} = \frac{y^{3}}{x y (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Schritt 2.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y y' (2 x^{2} - 3 y)}{x y (2 x^{2} - 3 y)} = \frac{y^{3}}{x y (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Schritt 2.5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y y' (2 x^{2} - 3 y)}{y (2 x^{2} - 3 y)} = \frac{y^{3}}{x y (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Schritt 2.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (2 x^{2} - 3 y)}{y (2 x^{2} - 3 y)} = \frac{y^{3}}{x y (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Schritt 2.5.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (2 x^{2} - 3 y)}{2 x^{2} - 3 y} = \frac{y^{3}}{x y (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Schritt 2.5.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x^{2} - 3 y$ .

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Schritt 2.5.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 x^{2} - 3 y)}{2 x^{2} - 3 y} = \frac{y^{3}}{x y (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Schritt 2.5.4.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{y^{3}}{x y (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Schritt 2.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{3}$ und $y$ .

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Schritt 2.5.4.3.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{3}$ heraus.

$y' = \frac{y \cdot y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Schritt 2.5.4.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.4.3.1.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x y (2 x^{2} - 3 y)$ heraus.

$y' = \frac{y \cdot y^{2}}{y (x (2 x^{2} - 3 y))} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Schritt 2.5.4.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y \cdot y^{2}}{y (x (2 x^{2} - 3 y))} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Schritt 2.5.4.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Schritt 2.5.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 2.5.4.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2} y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{x (- 3 x y^{2})}{x y (2 x^{2} - 3 y)}$

Schritt 2.5.4.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.4.3.1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x y (2 x^{2} - 3 y)$ heraus.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{x (- 3 x y^{2})}{x (y (2 x^{2} - 3 y))}$

Schritt 2.5.4.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{x (- 3 x y^{2})}{x (y (2 x^{2} - 3 y))}$

Schritt 2.5.4.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x y^{2}}{y (2 x^{2} - 3 y)}$

Schritt 2.5.4.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 2.5.4.3.1.3.1

Faktorisiere $y$ aus $- 3 x y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{y (- 3 x y)}{y (2 x^{2} - 3 y)}$

Schritt 2.5.4.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.4.3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{y (- 3 x y)}{y (2 x^{2} - 3 y)}$

Schritt 2.5.4.3.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} + \frac{- 3 x y}{2 x^{2} - 3 y}$

Schritt 2.5.4.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} - \frac{3 x y}{2 x^{2} - 3 y}$

Schritt 2.5.4.3.2

Um $- \frac{3 x y}{2 x^{2} - 3 y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} - \frac{3 x y}{2 x^{2} - 3 y} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 2.5.4.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (2 x^{2} - 3 y)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.5.4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{3 x y}{2 x^{2} - 3 y}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} - \frac{3 x y x}{(2 x^{2} - 3 y) x}$

Schritt 2.5.4.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(2 x^{2} - 3 y) x$ um.

$y' = \frac{y^{2}}{x (2 x^{2} - 3 y)} - \frac{3 x y x}{x (2 x^{2} - 3 y)}$

Schritt 2.5.4.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{y^{2} - 3 x y x}{x (2 x^{2} - 3 y)}$

Schritt 2.5.4.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.4.3.5.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2} - 3 x y x$ heraus.

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Schritt 2.5.4.3.5.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y \cdot y - 3 x y x}{x (2 x^{2} - 3 y)}$

Schritt 2.5.4.3.5.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- 3 x y x$ heraus.

$y' = \frac{y \cdot y + y (- 3 x \cdot x)}{x (2 x^{2} - 3 y)}$

Schritt 2.5.4.3.5.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot y + y (- 3 x \cdot x)$ heraus.

$y' = \frac{y (y - 3 x \cdot x)}{x (2 x^{2} - 3 y)}$

Schritt 2.5.4.3.5.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.4.3.5.2.1

Bewege $x$ .

$y' = \frac{y (y - 3 (x \cdot x))}{x (2 x^{2} - 3 y)}$

Schritt 2.5.4.3.5.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y' = \frac{y (y - 3 x^{2})}{x (2 x^{2} - 3 y)}$

Schritt 2.6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 3 x^{2})}{x (2 x^{2} - 3 y)}$

Schritt 3

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{y (y - 3 x^{2})}{x (2 x^{2} - 3 y)} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze den Zähler gleich Null.

$y (y - 3 x^{2}) = 0$

Schritt 3.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y (y - 3 x^{2}) = 0$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $y (y - 3 x^{2}) = 0$ durch $y$ .

$\frac{y (y - 3 x^{2})}{y} = \frac{0}{y}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (y - 3 x^{2})}{y} = \frac{0}{y}$

Schritt 3.2.1.2.1.2

Dividiere $y - 3 x^{2}$ durch $1$ .

$y - 3 x^{2} = \frac{0}{y}$

Schritt 3.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $y$ .

$y - 3 x^{2} = 0$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x^{2} = - y$

Schritt 3.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{2} = - y$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{2} = - y$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- y}{- 3}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 3.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- y}{- 3}$

Schritt 3.2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- y}{- 3}$

Schritt 3.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} = \frac{y}{3}$

Schritt 3.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{y}{3}}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{y}{3}}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{y}{3}}$ als $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.5.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.2.5.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.5.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 3.2.5.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 3.2.5.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 3.2.5.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.2.5.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.2.5.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.2.5.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.2.5.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2.5.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.2.5.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.5.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.2.5.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 3.2.5.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{y} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.2.5.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{y \cdot 3}}{3}$

Schritt 3.2.5.5

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{y \cdot 3}}{3}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

Schritt 3.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

Schritt 3.2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

Schritt 3.2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{3 y}}{3}$

Schritt 4

Solve the function $f (x) = x y^{3} + 6$ at $x = \frac{\sqrt{3 y}}{3}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{\sqrt{3 y}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3 y}}{3}) = (\frac{\sqrt{3 y}}{3}) \cdot y^{3} + 6$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $\frac{\sqrt{3 y}}{3}$ und $y^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3 y}}{3}) = \frac{\sqrt{3 y} y^{3}}{3} + 6$

Schritt 4.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{\sqrt{3 y} y^{3}}{3} + 6$ .

$\frac{\sqrt{3 y} y^{3}}{3} + 6$

Schritt 5

Solve the function $f (x) = x y^{3} + 6$ at $x = - \frac{\sqrt{3 y}}{3}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{\sqrt{3 y}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3 y}}{3}) = (- \frac{\sqrt{3 y}}{3}) \cdot y^{3} + 6$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $y^{3}$ und $\frac{\sqrt{3 y}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3 y}}{3}) = - \frac{y^{3} \sqrt{3 y}}{3} + 6$

Schritt 5.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{y^{3} \sqrt{3 y}}{3} + 6$ .

$- \frac{y^{3} \sqrt{3 y}}{3} + 6$

Schritt 6

The horizontal tangent lines are $y = \frac{\sqrt{3 y} y^{3}}{3} + 6, y = - \frac{y^{3} \sqrt{3 y}}{3} + 6$

$y = \frac{\sqrt{3 y} y^{3}}{3} + 6, y = - \frac{y^{3} \sqrt{3 y}}{3} + 6$

Schritt 7