Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ nicht definiert ist.

$- \frac{\sqrt{3}}{3} \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 2

Da $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ von links und $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ von rechts, dann ist $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ eine vertikale Asymptote.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 3

Da $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ von links und $\frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ von rechts, dann ist $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ eine vertikale Asymptote.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 4

Liste alle vertikalen Asymptoten auf:

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 5

Berechne $lim_{x \to \infty} \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 5.1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x = \sqrt{x^{2}}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{3 + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Schritt 5.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{\sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 5.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 5.2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 5.2.5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{4 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 5.2.6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 5.3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 5.4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.4.1

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 5.4.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 3 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 5.4.3

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{3 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 5.5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{\sqrt{3 - 0}}$

Schritt 5.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{4 + 0}{\sqrt{3 - 0}}$

Schritt 5.6.1.2

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{3 - 0}}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.6.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{3 + 0}}$

Schritt 5.6.2.2

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{4}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.6.3

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 5.6.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.6.4.1

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 5.6.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 5.6.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 5.6.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.6.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.6.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.6.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.6.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.6.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.6.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.6.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.6.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 5.6.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 6

Berechne $lim_{x \to - \infty} \frac{4 x - 3}{\sqrt{3 x^{2} - 1}}$ , um die horizontale Asymptote zu finden.

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Schritt 6.1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x = - \sqrt{x^{2}}$ ist.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{- 3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{3 + \frac{- 1}{x^{2}}}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to - \infty} \frac{4 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 6.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 4 - \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 6.2.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 4 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 6.2.5

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{4 - lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 6.2.6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 - 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 6.3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 6.4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.4.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 6.4.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 3 - \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 6.4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $- \infty$ annähert.

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 3 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 6.4.4

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $- \infty$ annähert.

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{3 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Schritt 6.5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{4 - 3 \cdot 0}{- \sqrt{3 - 0}}$

Schritt 6.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.6.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{4 + 0}{- \sqrt{3 - 0}}$

Schritt 6.6.1.2

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{4}{- \sqrt{3 - 0}}$

Schritt 6.6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.6.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{4}{- \sqrt{3 + 0}}$

Schritt 6.6.2.2

Addiere $3$ und $0$ .

$\frac{4}{- \sqrt{3}}$

Schritt 6.6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{\sqrt{3}}$

Schritt 6.6.4

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- (\frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 6.6.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.6.5.1

Mutltipliziere $\frac{4}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 6.6.5.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 6.6.5.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 6.6.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.6.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 6.6.5.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 6.6.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.6.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.6.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.6.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.6.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 6.6.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 7

Gib die horizontalen Asymptoten an:

$y = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 8

Wende die Polynomdivision an, um die schiefen Asymptoten zu ermitteln. Weil dieser Ausdruck eine Wurzel enthält, kann Polynomdivision nicht durchgeführt werden.

Kann keine schiefen Asymptoten finden

Schritt 9

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Horizontale Asymptoten: $y = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Kann keine schiefen Asymptoten finden

Schritt 10