Analysis Beispiele

$f (x) = 4 \tan (π x)$

Schritt 1

Für jedes $y = \tan (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = \tan (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = 4 \tan (π x)$ zu bestimmen. Setze das Innere der Tangens-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \tan (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = 4 \tan (π x)$ auftritt.

$π x = - \frac{π}{2}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $π x = - \frac{π}{2}$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = - \frac{π}{2}$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{π}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 2.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{2}$ in den Zähler.

$x = \frac{- π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 2.3.2.2

Faktorisiere $π$ aus $- π$ heraus.

$x = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π \cdot - 1}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 2.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Setze das Innere der Tangensfunktion $π x$ gleich $\frac{π}{2}$ .

$π x = \frac{π}{2}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{π}{2}$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = \frac{π}{2}$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{2}}{π}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{2}}{π}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{π}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{π}$

Schritt 4.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 5

Die fundamentale Periode für $y = 4 \tan (π x)$ tritt auf bei $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ , wobei $- \frac{1}{2}$ und $\frac{1}{2}$ vertikale Asymptoten sind.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

Schritt 6

Ermittle die Periode $\frac{π}{| b |}$ , um zu bestimmen, an welchen Stellen die vertikalen Asymptoten existieren.

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Schritt 6.1

$π$ ist ungefähr $3.14159265$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{π}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π}{π}$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1$

Schritt 7

Die vertikalen Asymptoten für $y = 4 \tan (π x)$ treten auf bei $- \frac{1}{2}$ , $\frac{1}{2}$ und aller $n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist.

$x = \frac{1}{2} + n$

Schritt 8

Der Tangens hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{1}{2} + n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 9