Analysis Beispiele

$f (x) = 7 {(x^{2} - 10 x)}^{20}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 {(x^{2} - 10 x)}^{20}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{20}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{20}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{20}$ und $g (x) = x^{2} - 10 x$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 10 x$ .

$7 (\frac{d}{d u} [u^{20}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 20$ .

$7 (20 u^{19} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 10 x$ .

$7 (20 {(x^{2} - 10 x)}^{19} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $20$ mit $7$ .

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x])$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 10 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{19} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x])$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x])$

Schritt 1.3.4

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x - 10 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x - 10 \cdot 1)$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$f' (x) = 140 {(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x - 10)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $140$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $140 {(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x - 10)$ nach $x$ gleich $140 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x - 10)]$ .

$140 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 x - 10)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(x^{2} - 10 x)}^{19}$ und $g (x) = 2 x - 10$ .

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} \frac{d}{d x} [2 x - 10] + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 10$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 10]) + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

Schritt 2.3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]) + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]) + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 + \frac{d}{d x} [- 10]) + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

Schritt 2.3.5

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} (2 + 0) + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$140 ({(x^{2} - 10 x)}^{19} \cdot 2 + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

Schritt 2.3.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x^{2} - 10 x)}^{19}$ .

$140 (2 \cdot {(x^{2} - 10 x)}^{19} + (2 x - 10) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 10 x)}^{19}])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{19}$ und $g (x) = x^{2} - 10 x$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 10 x$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + (2 x - 10) (\frac{d}{d u} [u^{19}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x]))$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 19$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + (2 x - 10) (19 u^{18} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x]))$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 10 x$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + (2 x - 10) (19 {(x^{2} - 10 x)}^{18} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x]))$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Bringe $19$ auf die linke Seite von $2 x - 10$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 \cdot (2 x - 10) {(x^{2} - 10 x)}^{18} \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x])$

Schritt 2.5.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 10 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 (2 x - 10) {(x^{2} - 10 x)}^{18} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]))$

Schritt 2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 (2 x - 10) {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]))$

Schritt 2.5.4

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 x$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 (2 x - 10) {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 x - 10 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 2.5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 (2 x - 10) {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 x - 10 \cdot 1))$

Schritt 2.5.6

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 (2 x - 10) {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 x - 10))$

Schritt 2.6

Potenziere $2 x - 10$ mit $1$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 ({(2 x - 10)}^{1} (2 x - 10)) {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

Schritt 2.7

Potenziere $2 x - 10$ mit $1$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 ({(2 x - 10)}^{1} {(2 x - 10)}^{1}) {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

Schritt 2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 {(2 x - 10)}^{1 + 1} {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

Schritt 2.9

Addiere $1$ und $1$ .

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 19 {(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

Schritt 2.10

Vereinfache.

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Schritt 2.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$140 (2 {(x^{2} - 10 x)}^{19}) + 140 (19 {(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $140$ .

$280 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 140 (19 {(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

Schritt 2.10.3

Mutltipliziere $19$ mit $140$ .

$280 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 2660 ({(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18})$

Schritt 2.10.4

Faktorisiere $140 {(x^{2} - 10 x)}^{18}$ aus $280 {(x^{2} - 10 x)}^{19} + 2660 {(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18}$ heraus.

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Schritt 2.10.4.1

Faktorisiere $140 {(x^{2} - 10 x)}^{18}$ aus $280 {(x^{2} - 10 x)}^{19}$ heraus.

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 (x^{2} - 10 x)) + 2660 {(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18}$

Schritt 2.10.4.2

Faktorisiere $140 {(x^{2} - 10 x)}^{18}$ aus $2660 {(2 x - 10)}^{2} {(x^{2} - 10 x)}^{18}$ heraus.

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 (x^{2} - 10 x)) + 140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (19 {(2 x - 10)}^{2})$

Schritt 2.10.4.3

Faktorisiere $140 {(x^{2} - 10 x)}^{18}$ aus $140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 (x^{2} - 10 x)) + 140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (19 {(2 x - 10)}^{2})$ heraus.

$f'' (x) = 140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 (x^{2} - 10 x) + 19 {(2 x - 10)}^{2})$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 (x^{2} - 10 x) + 19 {(2 x - 10)}^{2})$ .

$140 {(x^{2} - 10 x)}^{18} (2 (x^{2} - 10 x) + 19 {(2 x - 10)}^{2})$