Analysis Beispiele

$g (t) = t^{2} {(4 t + 9)}^{4}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = {(4 t + 9)}^{4}$ .

$t^{2} \frac{d}{d t} [{(4 t + 9)}^{4}] + {(4 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{4}$ und $g (t) = 4 t + 9$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 t + 9$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [4 t + 9]) + {(4 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$t^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d t} [4 t + 9]) + {(4 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 t + 9$ .

$t^{2} (4 {(4 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} [4 t + 9]) + {(4 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 t + 9$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$t^{2} (4 {(4 t + 9)}^{3} (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [9])) + {(4 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4 t$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{2} (4 {(4 t + 9)}^{3} (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9])) + {(4 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$t^{2} (4 {(4 t + 9)}^{3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [9])) + {(4 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$t^{2} (4 {(4 t + 9)}^{3} (4 + \frac{d}{d t} [9])) + {(4 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.3.5

Da $9$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$t^{2} (4 {(4 t + 9)}^{3} (4 + 0)) + {(4 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$t^{2} (4 {(4 t + 9)}^{3} \cdot 4) + {(4 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.3.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$t^{2} (16 {(4 t + 9)}^{3}) + {(4 t + 9)}^{4} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$t^{2} (16 {(4 t + 9)}^{3}) + {(4 t + 9)}^{4} (2 t)$

Schritt 1.3.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(4 t + 9)}^{4}$ .

$t^{2} (16 {(4 t + 9)}^{3}) + 2 \cdot {(4 t + 9)}^{4} t$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $t \cdot 2 {(4 t + 9)}^{3}$ aus $t^{2} (16 {(4 t + 9)}^{3}) + 2 {(4 t + 9)}^{4} t$ heraus.

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Schritt 1.4.1.1

Faktorisiere $t \cdot 2 {(4 t + 9)}^{3}$ aus $t^{2} (16 {(4 t + 9)}^{3})$ heraus.

$t \cdot 2 {(4 t + 9)}^{3} (t \cdot (8)) + 2 {(4 t + 9)}^{4} t$

Schritt 1.4.1.2

Faktorisiere $t \cdot 2 {(4 t + 9)}^{3}$ aus $2 {(4 t + 9)}^{4} t$ heraus.

$t \cdot 2 {(4 t + 9)}^{3} (t \cdot (8)) + t \cdot 2 {(4 t + 9)}^{3} (4 t + 9)$

Schritt 1.4.1.3

Faktorisiere $t \cdot 2 {(4 t + 9)}^{3}$ aus $t \cdot 2 {(4 t + 9)}^{3} (t \cdot (8)) + t \cdot 2 {(4 t + 9)}^{3} (4 t + 9)$ heraus.

$t \cdot 2 {(4 t + 9)}^{3} (t \cdot (8) + 4 t + 9)$

Schritt 1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t$ .

$2 \cdot t {(4 t + 9)}^{3} (t \cdot (8) + 4 t + 9)$

Schritt 1.4.2.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $t$ .

$2 t {(4 t + 9)}^{3} (8 \cdot t + 4 t + 9)$

Schritt 1.4.2.3

Addiere $8 t$ und $4 t$ .

$f' (t) = 2 t {(4 t + 9)}^{3} (12 t + 9)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t {(4 t + 9)}^{3} (12 t + 9)$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t {(4 t + 9)}^{3} (12 t + 9)]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t {(4 t + 9)}^{3} (12 t + 9)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t {(4 t + 9)}^{3}$ und $g (t) = 12 t + 9$ .

$2 (t {(4 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} [12 t + 9] + (12 t + 9) \frac{d}{d t} [t {(4 t + 9)}^{3}])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 t + 9$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [12 t] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$2 (t {(4 t + 9)}^{3} (\frac{d}{d t} [12 t] + \frac{d}{d t} [9]) + (12 t + 9) \frac{d}{d t} [t {(4 t + 9)}^{3}])$

Schritt 2.3.2

Da $12$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $12 t$ nach $t$ gleich $12 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 (t {(4 t + 9)}^{3} (12 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9]) + (12 t + 9) \frac{d}{d t} [t {(4 t + 9)}^{3}])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (t {(4 t + 9)}^{3} (12 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [9]) + (12 t + 9) \frac{d}{d t} [t {(4 t + 9)}^{3}])$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$2 (t {(4 t + 9)}^{3} (12 + \frac{d}{d t} [9]) + (12 t + 9) \frac{d}{d t} [t {(4 t + 9)}^{3}])$

Schritt 2.3.5

Da $9$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$2 (t {(4 t + 9)}^{3} (12 + 0) + (12 t + 9) \frac{d}{d t} [t {(4 t + 9)}^{3}])$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.6.1

Addiere $12$ und $0$ .

$2 (t {(4 t + 9)}^{3} \cdot 12 + (12 t + 9) \frac{d}{d t} [t {(4 t + 9)}^{3}])$

Schritt 2.3.6.2

Bringe $12$ auf die linke Seite von $t {(4 t + 9)}^{3}$ .

$2 (12 \cdot (t {(4 t + 9)}^{3}) + (12 t + 9) \frac{d}{d t} [t {(4 t + 9)}^{3}])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = {(4 t + 9)}^{3}$ .

$2 (12 t {(4 t + 9)}^{3} + (12 t + 9) (t \frac{d}{d t} [{(4 t + 9)}^{3}] + {(4 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{3}$ und $g (t) = 4 t + 9$ .

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Schritt 2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 t + 9$ .

$2 (12 t {(4 t + 9)}^{3} + (12 t + 9) (t (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [4 t + 9]) + {(4 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (12 t {(4 t + 9)}^{3} + (12 t + 9) (t (3 u^{2} \frac{d}{d t} [4 t + 9]) + {(4 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 2.5.3

Ersetze alle $u$ durch $4 t + 9$ .

$2 (12 t {(4 t + 9)}^{3} + (12 t + 9) (t (3 {(4 t + 9)}^{2} \frac{d}{d t} [4 t + 9]) + {(4 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 2.6

Differenziere.

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Schritt 2.6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 t + 9$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$2 (12 t {(4 t + 9)}^{3} + (12 t + 9) (t (3 {(4 t + 9)}^{2} (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [9])) + {(4 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 2.6.2

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4 t$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 (12 t {(4 t + 9)}^{3} + (12 t + 9) (t (3 {(4 t + 9)}^{2} (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9])) + {(4 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 2.6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (12 t {(4 t + 9)}^{3} + (12 t + 9) (t (3 {(4 t + 9)}^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [9])) + {(4 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 2.6.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$2 (12 t {(4 t + 9)}^{3} + (12 t + 9) (t (3 {(4 t + 9)}^{2} (4 + \frac{d}{d t} [9])) + {(4 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 2.6.5

Da $9$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$2 (12 t {(4 t + 9)}^{3} + (12 t + 9) (t (3 {(4 t + 9)}^{2} (4 + 0)) + {(4 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 2.6.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$2 (12 t {(4 t + 9)}^{3} + (12 t + 9) (t (3 {(4 t + 9)}^{2} \cdot 4) + {(4 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 2.6.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$2 (12 t {(4 t + 9)}^{3} + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3} \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 2.6.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (12 t {(4 t + 9)}^{3} + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3} \cdot 1))$

Schritt 2.6.8

Mutltipliziere ${(4 t + 9)}^{3}$ mit $1$ .

$2 (12 t {(4 t + 9)}^{3} + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7

Vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (12 t {(4 t + 9)}^{3}) + 2 ((12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$24 (t {(4 t + 9)}^{3}) + 2 ((12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.3

Faktorisiere $2$ aus $24 t {(4 t + 9)}^{3} + 2 (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3})$ heraus.

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Schritt 2.7.3.1

Faktorisiere $2$ aus $24 t {(4 t + 9)}^{3}$ heraus.

$2 (12 t {(4 t + 9)}^{3}) + 2 (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3})$

Schritt 2.7.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3})$ heraus.

$2 (12 t {(4 t + 9)}^{3}) + 2 ((12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (12 t {(4 t + 9)}^{3}) + 2 ((12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$ heraus.

$2 (12 t {(4 t + 9)}^{3} + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.4.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$2 (12 t ({(4 t)}^{3} + 3 {(4 t)}^{2} \cdot 9 + 3 (4 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.4.2.1

Wende die Produktregel auf $4 t$ an.

$2 (12 t (4^{3} t^{3} + 3 {(4 t)}^{2} \cdot 9 + 3 (4 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.2.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$2 (12 t (64 t^{3} + 3 {(4 t)}^{2} \cdot 9 + 3 (4 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.2.3

Wende die Produktregel auf $4 t$ an.

$2 (12 t (64 t^{3} + 3 (4^{2} t^{2}) \cdot 9 + 3 (4 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.2.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$2 (12 t (64 t^{3} + 3 (16 t^{2}) \cdot 9 + 3 (4 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.2.5

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$2 (12 t (64 t^{3} + 48 t^{2} \cdot 9 + 3 (4 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.2.6

Mutltipliziere $9$ mit $48$ .

$2 (12 t (64 t^{3} + 432 t^{2} + 3 (4 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.2.7

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$2 (12 t (64 t^{3} + 432 t^{2} + 12 t \cdot 9^{2} + 9^{3}) + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.2.8

Potenziere $9$ mit $2$ .

$2 (12 t (64 t^{3} + 432 t^{2} + 12 t \cdot 81 + 9^{3}) + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.2.9

Mutltipliziere $81$ mit $12$ .

$2 (12 t (64 t^{3} + 432 t^{2} + 972 t + 9^{3}) + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.2.10

Potenziere $9$ mit $3$ .

$2 (12 t (64 t^{3} + 432 t^{2} + 972 t + 729) + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (12 t (64 t^{3}) + 12 t (432 t^{2}) + 12 t (972 t) + 12 t \cdot 729 + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.4

Vereinfache.

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Schritt 2.7.4.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 (12 \cdot 64 t \cdot t^{3} + 12 t (432 t^{2}) + 12 t (972 t) + 12 t \cdot 729 + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 (12 \cdot 64 t \cdot t^{3} + 12 \cdot 432 t \cdot t^{2} + 12 t (972 t) + 12 t \cdot 729 + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 (12 \cdot 64 t \cdot t^{3} + 12 \cdot 432 t \cdot t^{2} + 12 \cdot 972 t \cdot t + 12 t \cdot 729 + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.4.4

Mutltipliziere $729$ mit $12$ .

$2 (12 \cdot 64 t \cdot t^{3} + 12 \cdot 432 t \cdot t^{2} + 12 \cdot 972 t \cdot t + 8748 t + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.7.4.5.1

Multipliziere $t$ mit $t^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.4.5.1.1

Bewege $t^{3}$ .

$2 (12 \cdot 64 (t^{3} t) + 12 \cdot 432 t \cdot t^{2} + 12 \cdot 972 t \cdot t + 8748 t + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.5.1.2

Mutltipliziere $t^{3}$ mit $t$ .

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Schritt 2.7.4.5.1.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$2 (12 \cdot 64 (t^{3} t^{1}) + 12 \cdot 432 t \cdot t^{2} + 12 \cdot 972 t \cdot t + 8748 t + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (12 \cdot 64 t^{3 + 1} + 12 \cdot 432 t \cdot t^{2} + 12 \cdot 972 t \cdot t + 8748 t + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.5.1.3

Addiere $3$ und $1$ .

$2 (12 \cdot 64 t^{4} + 12 \cdot 432 t \cdot t^{2} + 12 \cdot 972 t \cdot t + 8748 t + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.5.2

Mutltipliziere $12$ mit $64$ .

$2 (768 t^{4} + 12 \cdot 432 t \cdot t^{2} + 12 \cdot 972 t \cdot t + 8748 t + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.5.3

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.4.5.3.1

Bewege $t^{2}$ .

$2 (768 t^{4} + 12 \cdot 432 (t^{2} t) + 12 \cdot 972 t \cdot t + 8748 t + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.5.3.2

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

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Schritt 2.7.4.5.3.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$2 (768 t^{4} + 12 \cdot 432 (t^{2} t^{1}) + 12 \cdot 972 t \cdot t + 8748 t + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.5.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (768 t^{4} + 12 \cdot 432 t^{2 + 1} + 12 \cdot 972 t \cdot t + 8748 t + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.5.3.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 (768 t^{4} + 12 \cdot 432 t^{3} + 12 \cdot 972 t \cdot t + 8748 t + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.5.4

Mutltipliziere $12$ mit $432$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 12 \cdot 972 t \cdot t + 8748 t + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.5.5

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.4.5.5.1

Bewege $t$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 12 \cdot 972 (t \cdot t) + 8748 t + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.5.5.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 12 \cdot 972 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.5.6

Mutltipliziere $12$ mit $972$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (t (12 {(4 t + 9)}^{2}) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.4.6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (12 t {(4 t + 9)}^{2} + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.2

Schreibe ${(4 t + 9)}^{2}$ als $(4 t + 9) (4 t + 9)$ um.

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (12 t ((4 t + 9) (4 t + 9)) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.3

Multipliziere $(4 t + 9) (4 t + 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.4.6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (12 t (4 t (4 t + 9) + 9 (4 t + 9)) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (12 t (4 t (4 t) + 4 t \cdot 9 + 9 (4 t + 9)) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (12 t (4 t (4 t) + 4 t \cdot 9 + 9 (4 t) + 9 \cdot 9) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.4.6.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.4.6.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (12 t (4 \cdot 4 t \cdot t + 4 t \cdot 9 + 9 (4 t) + 9 \cdot 9) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.4.1.2

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.4.6.4.1.2.1

Bewege $t$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (12 t (4 \cdot 4 (t \cdot t) + 4 t \cdot 9 + 9 (4 t) + 9 \cdot 9) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.4.1.2.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (12 t (4 \cdot 4 t^{2} + 4 t \cdot 9 + 9 (4 t) + 9 \cdot 9) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.4.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (12 t (16 t^{2} + 4 t \cdot 9 + 9 (4 t) + 9 \cdot 9) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.4.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (12 t (16 t^{2} + 36 t + 9 (4 t) + 9 \cdot 9) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.4.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (12 t (16 t^{2} + 36 t + 36 t + 9 \cdot 9) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.4.1.6

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (12 t (16 t^{2} + 36 t + 36 t + 81) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.4.2

Addiere $36 t$ und $36 t$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (12 t (16 t^{2} + 72 t + 81) + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (12 t (16 t^{2}) + 12 t (72 t) + 12 t \cdot 81 + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.4.6.6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (12 \cdot 16 t \cdot t^{2} + 12 t (72 t) + 12 t \cdot 81 + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (12 \cdot 16 t \cdot t^{2} + 12 \cdot 72 t \cdot t + 12 t \cdot 81 + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.6.3

Mutltipliziere $81$ mit $12$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (12 \cdot 16 t \cdot t^{2} + 12 \cdot 72 t \cdot t + 972 t + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.7

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.4.6.7.1

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.4.6.7.1.1

Bewege $t^{2}$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (12 \cdot 16 (t^{2} t) + 12 \cdot 72 t \cdot t + 972 t + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.7.1.2

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.4.6.7.1.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (12 \cdot 16 (t^{2} t^{1}) + 12 \cdot 72 t \cdot t + 972 t + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.7.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (12 \cdot 16 t^{2 + 1} + 12 \cdot 72 t \cdot t + 972 t + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.7.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (12 \cdot 16 t^{3} + 12 \cdot 72 t \cdot t + 972 t + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.7.2

Mutltipliziere $12$ mit $16$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (192 t^{3} + 12 \cdot 72 t \cdot t + 972 t + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.7.3

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.4.6.7.3.1

Bewege $t$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (192 t^{3} + 12 \cdot 72 (t \cdot t) + 972 t + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.7.3.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (192 t^{3} + 12 \cdot 72 t^{2} + 972 t + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.7.4

Mutltipliziere $12$ mit $72$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (192 t^{3} + 864 t^{2} + 972 t + {(4 t + 9)}^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.8

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (192 t^{3} + 864 t^{2} + 972 t + {(4 t)}^{3} + 3 {(4 t)}^{2} \cdot 9 + 3 (4 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.9

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.4.6.9.1

Wende die Produktregel auf $4 t$ an.

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (192 t^{3} + 864 t^{2} + 972 t + 4^{3} t^{3} + 3 {(4 t)}^{2} \cdot 9 + 3 (4 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.9.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (192 t^{3} + 864 t^{2} + 972 t + 64 t^{3} + 3 {(4 t)}^{2} \cdot 9 + 3 (4 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.9.3

Wende die Produktregel auf $4 t$ an.

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (192 t^{3} + 864 t^{2} + 972 t + 64 t^{3} + 3 (4^{2} t^{2}) \cdot 9 + 3 (4 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.9.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (192 t^{3} + 864 t^{2} + 972 t + 64 t^{3} + 3 (16 t^{2}) \cdot 9 + 3 (4 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.9.5

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (192 t^{3} + 864 t^{2} + 972 t + 64 t^{3} + 48 t^{2} \cdot 9 + 3 (4 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.9.6

Mutltipliziere $9$ mit $48$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (192 t^{3} + 864 t^{2} + 972 t + 64 t^{3} + 432 t^{2} + 3 (4 t) \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.9.7

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (192 t^{3} + 864 t^{2} + 972 t + 64 t^{3} + 432 t^{2} + 12 t \cdot 9^{2} + 9^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.9.8

Potenziere $9$ mit $2$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (192 t^{3} + 864 t^{2} + 972 t + 64 t^{3} + 432 t^{2} + 12 t \cdot 81 + 9^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.9.9

Mutltipliziere $81$ mit $12$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (192 t^{3} + 864 t^{2} + 972 t + 64 t^{3} + 432 t^{2} + 972 t + 9^{3}))$

Schritt 2.7.4.6.9.10

Potenziere $9$ mit $3$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (192 t^{3} + 864 t^{2} + 972 t + 64 t^{3} + 432 t^{2} + 972 t + 729))$

Schritt 2.7.4.7

Addiere $192 t^{3}$ und $64 t^{3}$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (256 t^{3} + 864 t^{2} + 972 t + 432 t^{2} + 972 t + 729))$

Schritt 2.7.4.8

Addiere $864 t^{2}$ und $432 t^{2}$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (256 t^{3} + 1296 t^{2} + 972 t + 972 t + 729))$

Schritt 2.7.4.9

Addiere $972 t$ und $972 t$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + (12 t + 9) (256 t^{3} + 1296 t^{2} + 1944 t + 729))$

Schritt 2.7.4.10

Multipliziere $(12 t + 9) (256 t^{3} + 1296 t^{2} + 1944 t + 729)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 12 t (256 t^{3}) + 12 t (1296 t^{2}) + 12 t (1944 t) + 12 t \cdot 729 + 9 (256 t^{3}) + 9 (1296 t^{2}) + 9 (1944 t) + 9 \cdot 729)$

Schritt 2.7.4.11

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.4.11.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 12 \cdot 256 t \cdot t^{3} + 12 t (1296 t^{2}) + 12 t (1944 t) + 12 t \cdot 729 + 9 (256 t^{3}) + 9 (1296 t^{2}) + 9 (1944 t) + 9 \cdot 729)$

Schritt 2.7.4.11.2

Multipliziere $t$ mit $t^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.4.11.2.1

Bewege $t^{3}$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 12 \cdot 256 (t^{3} t) + 12 t (1296 t^{2}) + 12 t (1944 t) + 12 t \cdot 729 + 9 (256 t^{3}) + 9 (1296 t^{2}) + 9 (1944 t) + 9 \cdot 729)$

Schritt 2.7.4.11.2.2

Mutltipliziere $t^{3}$ mit $t$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.4.11.2.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 12 \cdot 256 (t^{3} t^{1}) + 12 t (1296 t^{2}) + 12 t (1944 t) + 12 t \cdot 729 + 9 (256 t^{3}) + 9 (1296 t^{2}) + 9 (1944 t) + 9 \cdot 729)$

Schritt 2.7.4.11.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 12 \cdot 256 t^{3 + 1} + 12 t (1296 t^{2}) + 12 t (1944 t) + 12 t \cdot 729 + 9 (256 t^{3}) + 9 (1296 t^{2}) + 9 (1944 t) + 9 \cdot 729)$

Schritt 2.7.4.11.2.3

Addiere $3$ und $1$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 12 \cdot 256 t^{4} + 12 t (1296 t^{2}) + 12 t (1944 t) + 12 t \cdot 729 + 9 (256 t^{3}) + 9 (1296 t^{2}) + 9 (1944 t) + 9 \cdot 729)$

Schritt 2.7.4.11.3

Mutltipliziere $12$ mit $256$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 3072 t^{4} + 12 t (1296 t^{2}) + 12 t (1944 t) + 12 t \cdot 729 + 9 (256 t^{3}) + 9 (1296 t^{2}) + 9 (1944 t) + 9 \cdot 729)$

Schritt 2.7.4.11.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 3072 t^{4} + 12 \cdot 1296 t \cdot t^{2} + 12 t (1944 t) + 12 t \cdot 729 + 9 (256 t^{3}) + 9 (1296 t^{2}) + 9 (1944 t) + 9 \cdot 729)$

Schritt 2.7.4.11.5

Multipliziere $t$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.4.11.5.1

Bewege $t^{2}$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 3072 t^{4} + 12 \cdot 1296 (t^{2} t) + 12 t (1944 t) + 12 t \cdot 729 + 9 (256 t^{3}) + 9 (1296 t^{2}) + 9 (1944 t) + 9 \cdot 729)$

Schritt 2.7.4.11.5.2

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $t$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.4.11.5.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 3072 t^{4} + 12 \cdot 1296 (t^{2} t^{1}) + 12 t (1944 t) + 12 t \cdot 729 + 9 (256 t^{3}) + 9 (1296 t^{2}) + 9 (1944 t) + 9 \cdot 729)$

Schritt 2.7.4.11.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 3072 t^{4} + 12 \cdot 1296 t^{2 + 1} + 12 t (1944 t) + 12 t \cdot 729 + 9 (256 t^{3}) + 9 (1296 t^{2}) + 9 (1944 t) + 9 \cdot 729)$

Schritt 2.7.4.11.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 3072 t^{4} + 12 \cdot 1296 t^{3} + 12 t (1944 t) + 12 t \cdot 729 + 9 (256 t^{3}) + 9 (1296 t^{2}) + 9 (1944 t) + 9 \cdot 729)$

Schritt 2.7.4.11.6

Mutltipliziere $12$ mit $1296$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 3072 t^{4} + 15552 t^{3} + 12 t (1944 t) + 12 t \cdot 729 + 9 (256 t^{3}) + 9 (1296 t^{2}) + 9 (1944 t) + 9 \cdot 729)$

Schritt 2.7.4.11.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 3072 t^{4} + 15552 t^{3} + 12 \cdot 1944 t \cdot t + 12 t \cdot 729 + 9 (256 t^{3}) + 9 (1296 t^{2}) + 9 (1944 t) + 9 \cdot 729)$

Schritt 2.7.4.11.8

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.7.4.11.8.1

Bewege $t$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 3072 t^{4} + 15552 t^{3} + 12 \cdot 1944 (t \cdot t) + 12 t \cdot 729 + 9 (256 t^{3}) + 9 (1296 t^{2}) + 9 (1944 t) + 9 \cdot 729)$

Schritt 2.7.4.11.8.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 3072 t^{4} + 15552 t^{3} + 12 \cdot 1944 t^{2} + 12 t \cdot 729 + 9 (256 t^{3}) + 9 (1296 t^{2}) + 9 (1944 t) + 9 \cdot 729)$

Schritt 2.7.4.11.9

Mutltipliziere $12$ mit $1944$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 3072 t^{4} + 15552 t^{3} + 23328 t^{2} + 12 t \cdot 729 + 9 (256 t^{3}) + 9 (1296 t^{2}) + 9 (1944 t) + 9 \cdot 729)$

Schritt 2.7.4.11.10

Mutltipliziere $729$ mit $12$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 3072 t^{4} + 15552 t^{3} + 23328 t^{2} + 8748 t + 9 (256 t^{3}) + 9 (1296 t^{2}) + 9 (1944 t) + 9 \cdot 729)$

Schritt 2.7.4.11.11

Mutltipliziere $256$ mit $9$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 3072 t^{4} + 15552 t^{3} + 23328 t^{2} + 8748 t + 2304 t^{3} + 9 (1296 t^{2}) + 9 (1944 t) + 9 \cdot 729)$

Schritt 2.7.4.11.12

Mutltipliziere $1296$ mit $9$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 3072 t^{4} + 15552 t^{3} + 23328 t^{2} + 8748 t + 2304 t^{3} + 11664 t^{2} + 9 (1944 t) + 9 \cdot 729)$

Schritt 2.7.4.11.13

Mutltipliziere $1944$ mit $9$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 3072 t^{4} + 15552 t^{3} + 23328 t^{2} + 8748 t + 2304 t^{3} + 11664 t^{2} + 17496 t + 9 \cdot 729)$

Schritt 2.7.4.11.14

Mutltipliziere $9$ mit $729$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 3072 t^{4} + 15552 t^{3} + 23328 t^{2} + 8748 t + 2304 t^{3} + 11664 t^{2} + 17496 t + 6561)$

Schritt 2.7.4.12

Addiere $15552 t^{3}$ und $2304 t^{3}$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 3072 t^{4} + 17856 t^{3} + 23328 t^{2} + 8748 t + 11664 t^{2} + 17496 t + 6561)$

Schritt 2.7.4.13

Addiere $23328 t^{2}$ und $11664 t^{2}$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 3072 t^{4} + 17856 t^{3} + 34992 t^{2} + 8748 t + 17496 t + 6561)$

Schritt 2.7.4.14

Addiere $8748 t$ und $17496 t$ .

$2 (768 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 3072 t^{4} + 17856 t^{3} + 34992 t^{2} + 26244 t + 6561)$

Schritt 2.7.5

Addiere $768 t^{4}$ und $3072 t^{4}$ .

$2 (3840 t^{4} + 5184 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 17856 t^{3} + 34992 t^{2} + 26244 t + 6561)$

Schritt 2.7.6

Addiere $5184 t^{3}$ und $17856 t^{3}$ .

$2 (3840 t^{4} + 23040 t^{3} + 11664 t^{2} + 8748 t + 34992 t^{2} + 26244 t + 6561)$

Schritt 2.7.7

Addiere $11664 t^{2}$ und $34992 t^{2}$ .

$2 (3840 t^{4} + 23040 t^{3} + 46656 t^{2} + 8748 t + 26244 t + 6561)$

Schritt 2.7.8

Addiere $8748 t$ und $26244 t$ .

$2 (3840 t^{4} + 23040 t^{3} + 46656 t^{2} + 34992 t + 6561)$

Schritt 2.7.9

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (3840 t^{4}) + 2 (23040 t^{3}) + 2 (46656 t^{2}) + 2 (34992 t) + 2 \cdot 6561$

Schritt 2.7.10

Vereinfache.

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Schritt 2.7.10.1

Mutltipliziere $3840$ mit $2$ .

$7680 t^{4} + 2 (23040 t^{3}) + 2 (46656 t^{2}) + 2 (34992 t) + 2 \cdot 6561$

Schritt 2.7.10.2

Mutltipliziere $23040$ mit $2$ .

$7680 t^{4} + 46080 t^{3} + 2 (46656 t^{2}) + 2 (34992 t) + 2 \cdot 6561$

Schritt 2.7.10.3

Mutltipliziere $46656$ mit $2$ .

$7680 t^{4} + 46080 t^{3} + 93312 t^{2} + 2 (34992 t) + 2 \cdot 6561$

Schritt 2.7.10.4

Mutltipliziere $34992$ mit $2$ .

$7680 t^{4} + 46080 t^{3} + 93312 t^{2} + 69984 t + 2 \cdot 6561$

Schritt 2.7.10.5

Mutltipliziere $2$ mit $6561$ .

$f'' (t) = 7680 t^{4} + 46080 t^{3} + 93312 t^{2} + 69984 t + 13122$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $g (t)$ nach $t$ ist $7680 t^{4} + 46080 t^{3} + 93312 t^{2} + 69984 t + 13122$ .

$7680 t^{4} + 46080 t^{3} + 93312 t^{2} + 69984 t + 13122$