Analysis Beispiele

$g (x) = - 8 \sin (\frac{3 x}{2} + 1)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 \sin (\frac{3 x}{2} + 1)$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{3 x}{2} + 1)]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{3 x}{2} + 1)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \frac{3 x}{2} + 1$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{3 x}{2} + 1$ .

$- 8 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2} + 1])$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$- 8 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2} + 1])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{3 x}{2} + 1$ .

$- 8 (\cos (\frac{3 x}{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2} + 1])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3 x}{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 8 \cos (\frac{3 x}{2} + 1) (\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.3.2

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \cos (\frac{3 x}{2} + 1) (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 8 \cos (\frac{3 x}{2} + 1) (\frac{3}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$- 8 \cos (\frac{3 x}{2} + 1) (\frac{3}{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 8 \cos (\frac{3 x}{2} + 1) (\frac{3}{2} + 0)$

Schritt 1.3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.6.1

Addiere $\frac{3}{2}$ und $0$ .

$- 8 \cos (\frac{3 x}{2} + 1) \frac{3}{2}$

Schritt 1.3.6.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 8$ .

$\frac{3 \cdot - 8}{2} \cos (\frac{3 x}{2} + 1)$

Schritt 1.3.6.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$\frac{- 24}{2} \cos (\frac{3 x}{2} + 1)$

Schritt 1.3.6.4

Kombiniere $\frac{- 24}{2}$ und $\cos (\frac{3 x}{2} + 1)$ .

$\frac{- 24 \cos (\frac{3 x}{2} + 1)}{2}$

Schritt 1.3.6.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 24$ und $2$ .

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Schritt 1.3.6.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 24 \cos (\frac{3 x}{2} + 1)$ heraus.

$\frac{2 (- 12 \cos (\frac{3 x}{2} + 1))}{2}$

Schritt 1.3.6.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.6.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- 12 \cos (\frac{3 x}{2} + 1))}{2 (1)}$

Schritt 1.3.6.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 12 \cos (\frac{3 x}{2} + 1))}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.3.6.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 12 \cos (\frac{3 x}{2} + 1)}{1}$

Schritt 1.3.6.5.2.4

Dividiere $- 12 \cos (\frac{3 x}{2} + 1)$ durch $1$ .

$f' (x) = - 12 \cos (\frac{3 x}{2} + 1)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 \cos (\frac{3 x}{2} + 1)$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 x}{2} + 1)]$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 x}{2} + 1)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{3 x}{2} + 1$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{3 x}{2} + 1$ .

$- 12 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2} + 1])$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- 12 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2} + 1])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{3 x}{2} + 1$ .

$- 12 (- \sin (\frac{3 x}{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2} + 1])$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$12 (\sin (\frac{3 x}{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2} + 1])$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3 x}{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$12 \sin (\frac{3 x}{2} + 1) (\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \sin (\frac{3 x}{2} + 1) (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 \sin (\frac{3 x}{2} + 1) (\frac{3}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$12 \sin (\frac{3 x}{2} + 1) (\frac{3}{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 \sin (\frac{3 x}{2} + 1) (\frac{3}{2} + 0)$

Schritt 2.3.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.7.1

Addiere $\frac{3}{2}$ und $0$ .

$12 \sin (\frac{3 x}{2} + 1) \frac{3}{2}$

Schritt 2.3.7.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $12$ .

$\frac{3 \cdot 12}{2} \sin (\frac{3 x}{2} + 1)$

Schritt 2.3.7.3

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$\frac{36}{2} \sin (\frac{3 x}{2} + 1)$

Schritt 2.3.7.4

Kombiniere $\frac{36}{2}$ und $\sin (\frac{3 x}{2} + 1)$ .

$\frac{36 \sin (\frac{3 x}{2} + 1)}{2}$

Schritt 2.3.7.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $2$ .

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Schritt 2.3.7.5.1

Faktorisiere $2$ aus $36 \sin (\frac{3 x}{2} + 1)$ heraus.

$\frac{2 (18 \sin (\frac{3 x}{2} + 1))}{2}$

Schritt 2.3.7.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (18 \sin (\frac{3 x}{2} + 1))}{2 (1)}$

Schritt 2.3.7.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (18 \sin (\frac{3 x}{2} + 1))}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.7.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{18 \sin (\frac{3 x}{2} + 1)}{1}$

Schritt 2.3.7.5.2.4

Dividiere $18 \sin (\frac{3 x}{2} + 1)$ durch $1$ .

$f'' (x) = 18 \sin (\frac{3 x}{2} + 1)$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $g (x)$ nach $x$ ist $18 \sin (\frac{3 x}{2} + 1)$ .

$18 \sin (\frac{3 x}{2} + 1)$